Équation de Birch-Murnaghan

Équation de Birch-Murnaghan

Équation d'état de Birch-Murnaghan

L'équation d'état de Birch-Murnaghan est une équation d'état utilisée en mécanique des milieux continus. Elle décrit l'évolution isotherme du volume d'un solide en fonction de la pression.

Cette équation fait intervenir trois paramètres, tous trois pris à température constante : le volume à pression nulle V0, le module de compressibilité noté ici K0 et sa dérivée première par rapport à la pression K0'. Ces deux derniers sont donnés respectivement par

K_0 = V \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{P = 0}

et

K_0' = \left(\frac{\partial K}{\partial P}\right)_{P = 0}

L'équation de Birch-Murnaghan est à distinguer de l'équation d'état de Murnaghan, également très utilisée en sciences de la terre et en physique de la matière condensée. Cette dernière n'est en effet valable que pour des déformations infinitésimales alors que la première repose sur la théorie des grandes déformations[1]. Sa démonstration repose sur un développement en série de l'énergie libre en fonction de la mesure d'Euler de la déformation notée f et donnée par

f = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}} - 1\right]

On utilise couramment l'équation au troisième ordre qui s'écrit

P = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]

Au second ordre, on a K0' = 4 et l'expression précédente est amputée de son dernier facteur.

Cette relation peut être utilisée pour estimer les coefficients K0 et K'0 à partir de mesures du volume en fonction de la pression, notamment par diffraction des rayons X. Le tableau suivant donne quelques exemples de matériaux étudiés de cette façon à température ambiante.

Composé V0 K0 (GPa) K'0
Andalousite[2] 144,2(7) 6,8(2)
Sillimanite[2] 164(1) 5,0(3)
MgGeO3[3] 82,2(3) 229(3) 3,7

Notes et références

  1. ↑ (en) Kazuhiro Fuchizaki, « Murnaghan equation of state revisited », dans Journal of the Physical Society of Japan, vol. 75, 2006, p. 034601 [texte intégral] 
  2. ↑ a  et b  (en) J. B. Burt, N. L. Ross, R. J. Angel and Mario Koch, « Equations of state and structures of andalusite to 9.8 GPa and sillimanite to 8.5 GPa », dans American mineralogist, vol. 91, 2006, p. 319 
  3. ↑ (en) C. E. Runge, A. Kubo, B. Kiefer, Y. Meng, V. B. Prakapenka, G. Shell, R. J. Cava, T. S. Duffy, « Equation of state of MgGeO3 perovskite to 65 GPa : comparison with the post-perovskite phase », dans Physics and chemistry of minerals, vol. 33, 2006, p. 699-709 

Sources

  • (en) F. Birch, « Finite elastic strains of cubic crystals », dans Physical Review, vol. 71, 1947, p. 809 [texte intégral] 
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