Équation d'Euler-Lagrange

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L’équation d'Euler-Lagrange est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tel que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange.

Sommaire

1 Notations
2 Enoncés
- 2.1 Premier énoncé
- 2.2 Autres formulations
3 Exemples
4 Démonstration

Notations

Ici, f désigne une fonction d'un ouvert de R³ à valeurs dans R, et x une fonction d'intervalle de R contentant t₀ et t₁ dans R. Les fonctions x et f sont deux fois différentiables. La variable utilisée pour x est notée t. Si l'on note α, β et γ les trois variables de f, (e₁, e₂, e₃) la base canonique de R³ et (dα, dβ, dγ) la base duale de la base canonique, on obtient.

$\forall (\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb R^3 \quad\mathrm Df = \frac{\partial f}{\partial \alpha} \mathrm d\alpha + \frac{\partial f}{\partial \beta} \mathrm d\beta + \frac{\partial f}{\partial \gamma} \mathrm d\gamma$

L'application différentielle Df associe à un vecteur de R³ une application linéaire de R³ dans R, c'est-à-dire un élément du dual de R³. On identifie souvent R³ et son dual à l'aide du produit scalaire canonique. La différentielle est alors équivalente au gradient :

$\operatorname{grad} \;f = \frac{\partial f}{\partial \alpha} e_1 + \frac{\partial f}{\partial \beta} e_2 + \frac{\partial f}{\partial \gamma}e_3$

Ici, la fonction f est appliquée au triplet (t, x(t), x'(t)). Comme la fonction x(t) est une fonction d'une unique variable, t, sa dérivée x'(t) est bien à valeur dans R. Pour indiquer que cette dérivée s'applique à une fonction de la variable t, on note sa dérivée à l'aide d'un point, surmontant la lettre x et, au lieu d'utiliser les symboles α, β et γ, peu parlants, on les remplace par les suivants :

$\operatorname{grad} \;f = \frac{\partial f}{\partial t} e_1 + \frac{\partial f}{\partial x} e_2 + \frac{\partial f}{\partial \dot x}e_3$

Une dérivée partielle de f est une fonction de R³ dans R. Si elle est composée avec la fonction de R dans R³, qui à t associe le triplet (t, x(t), x'(t)), on obtient une fonction de R dans R, dérivable, ce qui permet de donner un sens à la fonction de R dans R suivante :

$\frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right)$

Enoncés

Premier énoncé

Enoncé — Soit J la fonctionnelle définie par, pour toute fonction x :

$J = \int_{t_0}^{t_1} f \left( t , x \left(t \right), \dot x\left(t\right) \right) \, \mathrm dt = \int_{t_0}^{t_1} f \left( t , x \left(t \right), \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} \left(t\right)\right) \, \mathrm dt$

Une condition nécessaire pour que J soit stationnaire est que l'on ait :

$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) = 0$ .

Autres formulations

La fonction x peut être considérée comme à valeurs dans un espace euclidien E. La fonction f est alors définie sur un ouvert de RxE². La dérivée partielle de f par rapport à la deuxième variable notée par abus x, est une application du dual de E, qui s'identifie avec E, il en est de même avec la troisième dérivée partielle. L'équation suivante se lit alors un peu différemment, elle correspond à la somme de deux vecteurs de E qui s'annule.

$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) = 0$

Un cas particulier fréquent est celui où la fonction f est définie sur E², ce qui revient à dire que l'expression de f est indépendante de t, l'équation d'Euler-Lagrange prend la forme suivante, appelée identité de Beltrami :

$f-{\dot x}\frac{\partial f}{\partial \dot x}=C$

La deuxième différentielle partielle de f est ici identifiée à son gradient, c'est-à-dire à un vecteur de E. La lettre C désigne une constante réelle.

Pour s'en rendre compte, dérivons l'identité de Beltrami :

$\frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left(f-\frac{\partial f}{\partial \dot x}{\dot x}\right) = \frac{\partial f}{\partial x} \dot x + \frac{\partial f}{\partial \dot x} \ddot x - \frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right)\dot x - \frac{\partial f}{\partial \dot x} \ddot x = \left(\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right)\right)\dot x = 0$

Exemples

Un exemple historique célèbre est la courbe brachistochrone. La question posée revient à trouver la courbe reliant un point A à un point B, situé à une altitude plus faible, tel qu'un point matériel partant du point A sans vitesse initiale et glissant sans frottement sur la courbe rejoigne le plus rapidement possible le point B.

L'exemple choisi ici est extrait de l'article sur le principe de Fermat. L'objectif est de déterminer un chemin optique plan, dont les coordonnées sont notées horizontalement t et verticalement x, pour respecter les notations de l'énoncé du théorème. Le rayon lumineux traverse le vide, à l'exception de la zone correspondant aux valeurs de x situées entre -1 et 1. Sur cette bande, l'indice n_t n'est plus égal à 1 mais à 1/|x|. Entre les deux bandes, le chemin optique est d'une longueur L égale à :

$L = \int_{-1}^1 f(t) \mathrm dt \quad \text{avec}\quad f(t,x,\dot x) = n_t\sqrt {1 + \dot x^2} = \frac {\sqrt {1 + \dot x^2}}{|t|}$

L'équation d'Euler-Lagrange stipule que la dérivée partielle de f par rapport à la troisième variable est une constante, notée ici C, si elle est appliquée aux variables t, x et sa dérivée. On obtient :

$\frac {\partial f}{\partial \dot x} = \frac {\dot x}{|t|\sqrt {1 + \dot x^2}} = C \quad\text{et}\quad \dot x^2 = C^2t^2(1 + \dot x^2)$

Ce résultat s'écrit encore, si u = Ct:

$\dot x = \frac {u}{\sqrt {1 - u^2}}$

On reconnait l'équation d'une portion de cercle.

Démonstration

Elle repose sur le lemme fondamental du calcul des variations. Nous cherchons une fonction x rendant extrémale la fonctionnelle et satisfaisant les conditions aux bords :

$f\left(a\right) = c$
$f\left(b\right) = d$

On a ainsi :

$J = \int_{t_0}^{t_1} f\left(t,x\left(t\right),\dot x\left(t\right)\right) \, \mathrm dt$

Supposons que les dérivées premières de f soient continues.

Si x rend extrémale J, alors une perturbation infinitésimale de x préservera les conditions aux bords et augmentera J (si x est un minimum) ou diminuera J (si x est un maximum).

Soit $x_\epsilon\left(t\right)=x\left(t\right)+\epsilon\eta\left(t\right)$ une perturbation de x, où $\eta\left(t\right)$ est une fonction différentiable vérifiant $\eta\left(t_0\right)=\eta\left(t_1\right)=0$ . Définissons :

$J\left(\epsilon\right) = \int_{t_0}^{t_1} f\left(t,x_\epsilon\left(t\right), \dot x_\epsilon\left(t\right) \right) \, \mathrm dt$

Calculons alors la dérivée de J par rapport à $\epsilon$ .

$\frac{\mathrm dJ}{\mathrm d \epsilon} = \int_{t_0}^{t_1} \frac{\partial f}{\partial \epsilon} \left(t,x_\epsilon\left(t\right), \dot x_\epsilon\left(t\right) \right) \, \mathrm dt$

Le développement du calcul donne, si

$\frac{\partial f}{\partial \epsilon} = \frac{\partial f}{\partial x_{\epsilon}}\frac{\partial x_{\epsilon}}{\partial \epsilon} + \frac{\partial f}{\partial {\dot x_{\epsilon}}}\frac{\partial \dot x_{\epsilon}}{\partial \epsilon} = \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x_{\epsilon}} + \dot\eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x_{\epsilon}}$

Donc :

$\frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon} = \int_{t_0}^{t_1} \left( \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x_{\epsilon}} + \dot\eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x_{\epsilon}} \right) \, \mathrm dt$

Quand $\epsilon =0$ nous avons $x_\epsilon =x$ et comme $x$ est un extremum de $J$ il s'ensuit que $\frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon} = 0$ , soit encore :

$\frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon}\left(0\right) = \int_{t_0}^{t_1}{\left( \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} + \dot \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x}\right) \, \mathrm dt} = \int_{t_0}^{t_1}{ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm dt} + \int_{t_0}^{t_1}{ \dot \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \, \mathrm dt}$

Par intégration par parties :

$0 = \int_{t_0}^{t_1} { \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm dt} + \left[ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} { \eta\left(t\right) \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \, \mathrm dt} = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) \eta\left(t\right) \, \mathrm dt} + \left[ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1}$

Avec les conditions aux bords $η(t 0) = η(t 1) = 0$ , on a :

$0 = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) \eta\left(t\right)\, \mathrm dt}$

En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations avec $η(t 0) = η(t 1) = 0$ , on obtient :

$0 = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x}$

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