Lemme Fondamental Du Calcul Des Variations
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Lemme fondamental du calcul des variations
Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Il énonce que si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], et
![\int_a^b f(x) \, h(x) \,\mathrm dx = 0](/pictures/frwiki/99/c81855a4a61f1d407687529cedcda87f.png)
pour toute fonction
avec h(a) = h(b) = 0, alors f(x) est identiquement nulle sur l'intervalle ouvert (a,b).
Plus généralement, ce résultat de ce lemme reste vrai avec
localement intégrable sur un ensemble ouvert U de
et les fonctions h sont de classe
et à support compact dans U (La conclusion est changée par « f est nulle presque partout »).
Applications
Ce lemme est utilisé pour prouver que les extrema de la fonctionnelle
![J(y) = \int_{x_0}^{x_1} L(t,y,\dot y) \,\mathrm dt](/pictures/frwiki/56/8df54cdc0d268a0ed5077503e6631878.png)
sont des solutions faibles de l'équation d'Euler-Lagrange:
![{\partial L(t,y,\dot y) \over \partial y} = {\mathrm d\over\mathrm dt} {\partial L(t,y,\dot y) \over \partial \dot y} .](/pictures/frwiki/55/76409fea23305b85d3dcff9ff3957d06.png)
Références
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Catégories : Calcul des variations | Lemme de mathématiques
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