Vecteur normalisé

Vecteur normalisé

Vecteur unitaire

Dans un espace vectoriel normé, un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

Ce type de vecteur est utilisé pour caractériser la direction d'un vecteur quelconque. Ainsi, on peut exprimer un vecteur \scriptstyle\vec V en fonction d'un vecteur unitaire \vec u par la multiplication par un scalaire de \vec u et de la norme de \scriptstyle\vec V (on « étire » \vec u d'un facteur \scriptstyle\|\vec V\|) :

\vec V = \|\vec V\| \cdot \vec u.

Pour rendre un vecteur \scriptstyle\vec V unitaire, on le multiplie donc par l'inverse de sa norme.

\vec u = \frac 1 {\|\vec V\|}\cdot\vec V


Démonstrations
\|\vec u\| = \left\| \frac{1}{\|\vec V\|} \cdot \vec V \right\| = \frac{1}{\|\vec V\|} \cdot \|\vec V\| = 1

En physique, pour dénoter les vecteurs unitaires, il est usuel d'utiliser un accent circonflexe: \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} .

Dérivation des vecteurs unitaires

Soit une fonction dérivable t\mapsto e(t) à valeurs dans un espace euclidien E, telle que pour tout t, e(t) est un vecteur unitaire. Alors le vecteur dérivé e'(t) est orthogonal à e(t). En effet, il suffit de dériver l'expression du carré de la norme, sachant que celle-ci est constante – donc de dérivée nulle – et que le produit scalaire s'annule justement pour deux vecteurs orthogonaux :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\|e(t)\|^2 = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle e(t)\mid e(t)\rangle = 2\langle e'(t)\mid e(t)\rangle=0.

C'est le cas notamment pour les vecteurs de toutes les bases orthonormales mobiles.

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