Transformation d'Euler

Transformation binomiale

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse combinatoire, la transformation binomiale est une suite d'opérations transformant une suite en une autre, en calculant les différences entre les termes consécutifs.

Cette transformation est en rapport avec la transformation d'Euler , qui est le résultat d'une transformation binomiale à une suite associée à une fonction génératrice usuelle. Un cas particulier de la transformation d'Euler est parfois utilisé pour accélérer la convergence de séries alternées (voir l'accélération des séries). Un autre cas particulier apparaît dans une application aux séries hypergéométriques.

Définition

La transformation binomiale, $T$ , d'une suite, $(a n)$ , est la suite $(s n)$ définie par

$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k$

Formellement, nous pouvons écrire $(T a) n = s n$ pour représenter la transformation, où $T$ est un opérateur en dimension infinie dont la matrice a pour coefficients $T n k$ vérifiant:

$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k$

Cette transformation est une involution, c'est-à-dire

$T\circ T = {\rm Id} \,$

ou, en utilisant des notations indicielles:

$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$

où $δ$ est le symbole de Kronecker. La suite de départ peut ainsi être retrouvée par

$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k$

La transformation binomiale d'une suite est justement la $n$ ème différence de la suite, et ainsi

s 0 = a 0

$s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0$

$s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0$

. . .

$s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0$

où Δ est l'opérateur de différence.

Certains auteurs définissent la transformation binomiale avec un signe additionnel, qui empêche la transformation d'être involutive:

$t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$

dont la transformation réciproque est

$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k$

Décalages

La transformation binomiale correspond à l'opérateur de translation à droite pour la suite des nombres de Bell. c'est-à-dire:

$B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k$

où les $B n$ représentent les nombres de Bell.

Fonctions génératrices ordinaires

La transformation relie les fonctions génératrices associées à des séries.

Pour des fonctions génératrices ordinaires

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n$

on a

$g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right)$

Transformation d'Euler

La transformation correspondante reliant les fonctions génératrices ordinaires est appelée transformation d'Euler. Elle apparaît couramment sous une ou deux formes, l'une étant utilisée pour l'accélération de la convergence des séries alternées.

Cette forme intervient avec la relation:

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}$

obtenue en remplacent $x = 1 / 2$ dans la relation précédente. Les termes dans le membre de droite deviennent généralement petit, beaucoup plus vite, permettant ainsi un calcul numérique rapide de la somme.

La transformation d'Euler est aussi fréquemment appliquée aux séries hypergéométriques $\,_2F_1$ . Dans ce cas, la transformation d'Euler prend la forme de:

$\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)$

La transformation binomiale, et ses variantes comme la transformation d'Euler, est connue pour son utilisation avec les fractions continues représentant un nombre. Soit $0 < x < 1$ un réel ayant la représentation sous forme de fraction continue suivante:

$x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]$

Alors

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]$

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]$

Fonction génératrice exponentielle

Considérons des fonctions génératrices exponentielles,

$\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$

$\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}$

Alors

$\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x)$

La transformation de Borel convertit les fonctions génératrices ordinaires en fonctions génératrices exponentielles.

Représentation intégrale

Lorsque la suite peut être interpolée par une fonction analytique complexe, alors la transformation binomiale de la suite peut être représentée par la moyenne d'une intégrale de Nörlund-Rice sur la fonction d'interpolation.

Généralisations

Prodinger donna une transformation de type modulaire:

$u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k$

donne

$U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$

où U et B sont des fonctions génératrices ordinaires associées aux séries:

${u n}$ et ${b n}$ , respectivement.

La k-transformation binomiale montante est parfois définie par

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j$

et la k-transformation binomiale descendante , par

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j$ .

Les deux transformations sont des homomorphismes du noyau de la transformation de Hankel d'une série.

Voir aussi

Série de Newton
Matrice de Hankel
Transformation de Möbius
Transformation de Stirling

Références

Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA. (en)
Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform, (1992) (en)
Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, (2006) (en)

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Transformation binomiale#Transformation d.27Euler ».

Catégorie : Analyse combinatoire

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Transformation d'Euler de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Transformation binomiale — En mathématiques, dans le domaine de l analyse combinatoire, la transformation binomiale est une suite d opérations transformant une suite en une autre, en calculant les différences entre les termes consécutifs. Cette transformation est en… … Wikipédia en Français
Euler diagram — Euler diagrams or Euler circles are a diagrammatic means of representing sets and their relationships. They are the modern incarnation of Euler circles, which were invented by Leonhard Euler in the 18th century. Overview Euler diagrams usually… … Wikipedia
Transformation de mellin — En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie… … Wikipédia en Français
Euler's continued fraction formula — In the analytic theory of continued fractions, Euler s continued fraction formula is an identity connecting a certain very general infinite series with an infinite continued fraction. First published in 1748, it was at first regarded as a simple… … Wikipedia
Euler angles — The Euler angles were developed by Leonhard Euler to describe the orientation of a rigid body (a body in which the relative position of all its points is constant) in 3 dimensional Euclidean space. To give an object a specific orientation it may… … Wikipedia
Euler equations (fluid dynamics) — In fluid dynamics, the Euler equations govern inviscid flow. They correspond to the Navier Stokes equations with zero viscosity and heat conduction terms. They are usually written in the conservation form shown below to emphasize that they… … Wikipedia
Transformation de Mellin — En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la … Wikipédia en Français
Transformation affine — Application affine C’est Euler, en 1748, qui est à l’origine du terme « transformation affine », car dit il, « deux courbes images l’une de l’autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité ».… … Wikipédia en Français
Transformation de Laplace — Transformée de Laplace Pour les articles homonymes, voir Laplace. Sommaire 1 Définition 2 Inversion 3 Propriétés … Wikipédia en Français
Transformation de Joukovsky — La transformation de Joukovsky, du nom du savant aérodynamicien russe Nikolaï Joukovski, est une transformation conforme utilisée historiquement dans le calcul des profils d aile d avion. Sommaire 1 Définition 2 Application 3 Transformation de… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Transformation d'Euler

Transformation binomiale

Sommaire

Définition

Décalages

Fonctions génératrices ordinaires

Transformation d'Euler

Fonction génératrice exponentielle

Représentation intégrale

Généralisations

Voir aussi

Références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Transformation d'Euler

Transformation binomiale

Sommaire

Définition

Décalages

Fonctions génératrices ordinaires

Transformation d'Euler

Fonction génératrice exponentielle

Représentation intégrale

Généralisations

Voir aussi

Références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link