Axiomes de Kolmogorov

Axiomes de Kolmogorov

Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) \ P est une application qui à un évènement \ A quelconque lié à l'expérience aléatoire \mathcal E associe un nombre réel (noté \ P(A)) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés

Sommaire

Premier axiome

Pour tout évènement \ A :

0 \leq P(A) \leq 1.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

\ \Omega désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

\ P(\Omega) = 1,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), A_1,\, A_2, \dots satisfait :

P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} P(A_i).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

  • P(\emptyset)=0.
Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec \scriptstyle\ A_k=\emptyset\ pour tout \scriptstyle\ k.\ On obtient

P(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}P(\emptyset),

relation qui n'est pas satisfaite si \scriptstyle\ P(\emptyset)\in]0,1],\ puisqu'alors le terme de droite vaut \scriptstyle\ +\infty.\ Donc il ne reste que \scriptstyle\ P(\emptyset)=0,\ qui d'ailleurs convient.

  • Si \ A, \ B sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors
P(A \cup B) = P(A) + P(B).
  • Plus généralement, si \ (A_k)_{1\le k\le n} est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors
P\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}P(A_k).
Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec \scriptstyle\ A_k=\emptyset\ pour tout \scriptstyle\ k\ge n+1.\ On obtient bien une suite d'évènements incompatibles 2 à 2 tels que

\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,

donc

P\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=P\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),

mais en vertu du troisième axiome

P\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}P\left(A_k\right)

et finalement, puisque pour tout \scriptstyle\ k\ge n+1,\ P\left(A_k\right)=P\left(\emptyset\right)=0,\ on obtient le résultat désiré.

  • P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B);

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence P(B) - P(A \cap B). Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de B \setminus A et de A \cap B.

  • En particulier, si A \subset B, alors
P(A) \leq P(B)

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où A \subset B, la propriété précédente s'écrit

P(B \setminus A) =P(B) - P(A),\ où le premier terme est clairement positif ou nul.
  • Dans le cas particulier où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement \ A,
P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

  • Pour tous évènements \ A, \ B,
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que \ A se réalise, et pour que \ B se réalise, moins la probabilité pour que \ A et \ B se réalisent simultanément. De même,

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(C \cap A) - P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C).
\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

Limites croissantes et décroissantes

  • Toute suite croissante d'évènements A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots satisfait :
P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} P(A_n).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Démonstration

On pose

B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.

Alors les Bi sont disjoints et vérifient

\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}^nB_k=A_n.

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent alors que

\sum_{n\ge 1}P(B_n)=P\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}^nP(B_k)=P(A_n).

Alors \scriptstyle\ P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} P(A_n) n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

  • Toute suite décroissante d'évènements A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots satisfait :
P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} P(A_n).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Formulation à partir de la théorie de la mesure

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement mais plus abstraitement ce qui précède par un triplet (\Omega,\mathcal{A},P) représentant un espace de probabilités, ce qui permet d'utiliser directement les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue.

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