Théorème du sandwich (variante)

Théorème du sandwich (variante)

Ceci est une version alternative du théorème du sandwich qui concerne les dérivées (ou différentielles) de fonctions, si vous cherchiez un théorème sur un passage à la limite référez vous plutôt à l'article théorème des gendarmes.

Énoncé (cas d'une fonction réelle)

Théorème du sandwich —  Soit I un intervalle contenant le réel a. Soient m et M deux fonctions réelles définies sur l'intervalle I et dérivables en a et f une fonction de I dans \mathbb R .

on suppose que

1) \forall x \in I , \ m(x)\le f(x) \le M(x)
2) m(a) = f(a) = M(a)
3) m'(a) = M'(a)

alors f est dérivable en a et on a f'(a) = m'(a) \ (= M'(a))


Énoncé (cas général)

Théorème du sandwich —  Soit V un voisinage d'un vecteur a de \mathbb R^n . Soient m et M deux applications réelles définies sur V et différentiables en a et f : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R

on suppose que

1) \forall x \in V , \ m(x)\le f(x) \le M(x)
2) m(a) = f(a) = M(a)
3) dma = dMa

alors f est différentiable en a et on a df_a = dm_a \ (= dM_a)

Démonstration (du cas général)

Pour h suffisamment petit on a :

m(a+h) \le f(a+h) \le M(a+h)
d'où (par la seconde hypothèse) m(a+h) - m(a) \le f(a+h) - f(a) \le M(a+h) - M(a)
donc f(a+h) = f(a) + dm_a(h) + o( \parallel h \parallel)
d'où résultat.



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