Théorème de l'Hospital

Théorème de l'Hospital

Règle de L'Hôpital

La règle de L'Hôpital (également appelée règle de l'Hospital ou règle de Bernoulli) en analyse utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients. La règle porte le nom d'un mathématicien français du XVIIe siècle, Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital (1661 - 1704), qui a publié la règle dans son livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), le premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit en français[1].

La règle est sans doute due à Jean Bernoulli, car L'Hôpital payait à Bernoulli une pension de 300 francs par an pour le tenir informé des progrès du calcul infinitésimal, et pour résoudre les problèmes qu'il lui posait (comme celui de trouver la limite des formes indéterminées) ; de plus, ils avaient signé un contrat autorisant L'Hôpital à utiliser les découvertes de Bernoulli à sa guise[2]. Quand L'Hôpital publia son livre, il reconnut ce qu'il devait à Bernoulli, et, ne voulant pas se voir attribuer son travail, publia anonymement. Bernoulli prétendit alors être l'auteur de l'ouvrage entier, ce qui fut longtemps cru, mais la règle n'en fut pas moins nommée d'après L'Hôpital, bien qu'il n'ait jamais prétendu l'avoir inventée[3].

Le théorème de Stolz-Cesàro est un résultat analogue concernant des limites de suites, mais utilisant les différences finies au lieu de la dérivée.

Sommaire

Principe

Soit a\in\overline{\mathbb{R}}, tel que les fonctions réelles f et g soient définies sur un voisinage de a, g ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en a du quotient f / g, où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers zéro, soit les deux vers l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée.

Énoncé des règles de L'Hôpital

Énoncé simple : Dans l'ouvrage de M. de l'Hôpital, la règle qui apparaît est celle communément utilisée dans le cas de deux fonctions dérivables en a et telles que le quotient \frac{f'(a)}{g'(a)} soit défini :

Si f et g sont deux fonctions dérivables en a, s'annulant en a et telles que le quotient \frac{f'(a)}{g'(a)} soit défini, alors \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)}.

Cependant, la règle de l'Hôpital se généralise à des situations beaucoup moins restrictives:


Première généralisation à des fonctions pour lesquelles \frac {f'(a)}{g'(a)} n'existe pas forcément.

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur ]a ; b[ dont la limite en a est nulle, si g'(x) ne s'annule pas sur ]a ; b[ et si \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L alors \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= L.

Le résultat est valide que L soit une limite réelle ou infinie.

Seconde généralisation à des fonctions dont la limite en a est infinie.

Si f et g sont deux fonctions dérivable sur ]a ; b[ ayant une limite infinie en a, si g'(x) ne s'annule pas sur ]a ; b[ et si \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L alors \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= L.

Le résultat est valide que L soit une limite réelle ou infinie.

Les mêmes règles existent pour des fonctions définies sur ]b ; a[.

Les théorèmes restent valables en remplaçant a par \pm \infty.

Utilisations et précautions à prendre

Dans le cas d'indétermination de la forme « 0 / 0 », la première forme peut souvent être utilisée:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2+3x} = \frac{\cos(0)}{2 \times 0 + 3} = \frac{1}{3}

Dans le cas d'indétermination de la forme « ∞/∞ », c'est la seconde généralisation que l'on va employer:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = +\infty

Parfois, il faudra utiliser plusieurs fois la règle de l'Hôpital pour parvenir au résultat :

\lim_{x \to 0}\frac{\cos(2x) - 1}{x^3 + 5x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{-2\sin(2x)}{3x^2 + 10x} = \lim_{x \to 0}\frac{-4\cos(2x)}{6x + 10} = \frac{-2}{5}

Certaines limites, qui n'apparaissent pas comme des limites de quotients, peuvent être obtenues avec cette règle:

\lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\sqrt{1 - 1/x}}{1/x} = \lim_{h \to 0}\frac{1-\sqrt{1 - h}}{h}
\lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-h}}}{1} = \frac{1}{2}

On remarquera que les formes généralisées ne donnent que des conditions suffisantes d'existence de la limite. Il existe donc des cas où la limite du quotient des dérivées n'existe pas et pourtant la limite du quotient des fonctions existe :

\lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0}x\sin(1/x) = 0

alors que :

\frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1} n'admet pas de limite en 0.

Enfin, on prendra soin de vérifier que g'(x) est bien non nul au voisinage de a (et donc que g n'oscille pas trop autour de 0), sinon la règle n'est pas applicable. Par exemple, si

f(x)=x+\cos(x)\sin(x)\, et g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))\,

, alors

f'(x) = 2\cos^2(x)\, et g'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))\,

donc

\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0

Mais

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{e^{\sin(x)}} n'admet pas de limite en + \infty car \frac{1}{e^{\sin(x)}} oscille entre 1/e et e.

Démonstrations

Démonstration de la règle simple

C'est une simple opération sur les limites. Comme f(a)=g(a)=0, on a :
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)}
Comme f et g sont dérivables en a et que le quotient \frac{f'(a)}{g'(a)} est défini, on peut affirmer que
1. g'(a) est non nul, donc que g(x) est non nul sur un intervalle ]a ; c]
2. \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}

Démonstration de la première généralisation

La démonstration de la première généralisation nécessite le théorème des accroissement finis généralisé : si f et g sont dérivables sur un intervalle]x ; y[ et continue sur [x ; y], et si g'(x) est non nul, il existe un réel c de ]x ; y[ tel que
\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}
On peut prolonger par continuité les fonctions en a en posant f(a) = g(a) = 0
Puisque g'(x) ne s'annule pas sur ]a ; b[, on peut appliquer le théorème des accroissements finis généralisé pour l'intervalle [a ; x]
Pour tout réel x de ]a ; b[, il existe un réel c de ]a ; x] tel que \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.
Puisque \lim_{x \to a} c = a et que \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L, il en est de même de \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}.

Démonstration de la deuxième généralisation

La démonstration de la deuxième généralisation utilise le même théorème qu'il s'agit de manipuler avec précaution.
Puisque g'(x) ne s'annule pas sur l'intervalle ]a ; b[, pour tous x et y distincts de cet intervalle, on peut donc appliquer le théorème des accroissements finis à l'intervalle [x ; y]
Pour tout intervalle [x ; y], il existe un réel c de [x ; y] tel que \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}
Puisque les limites de f et g sont infinies en a, il existe un intervalle ]a ; a'[ sur lequel g(x) ne s'annule pas , l'expression précedente peut donc s'écrire
f(x) = (g(x) - g(y))\frac{f'(c)}{g'(c)} + f(y)
\frac{f(x)}{g(x)} = \left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right )\frac{f'(c)}{g'(c)} +\frac{f(y)}{g(x)}
Comme \lim_{t \to a} \frac{f'(t)}{g'(t)} = L, comme c appartient à ]a ; y[, on peut toujours choisir y tel que \frac{f'(c)}{g'(c)} soit aussi proche que l'on veut de L.
et comme g(x) tend vers l'infini, on peut toujours trouver un intervalle ]a ; a + r[ inclus dans ]a ; y[ tel que \frac{g(y)}{g(x)} et \frac{f(y)}{g(x)} soient aussi proche de 0 que l'on veut pour tout x de ]a ; a + r[.

Pour des limites en \pm \infty, il suffit de poser x = 1/t et de rechercher une limite en 0

Soient f et g deux fonctions définies sur [M > 0 ; + \infty[ dérivables sur ]M ; + \infty[, si g'(x) ne s'annule pas et si \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L alors
\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(1/t)}{g(1/t)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{(-1/t^2)f'(1/t)}{(-1/t^2)g'(1/t)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L

Notes et références

  1. ↑ visible à l'adresse http://gallica.bnf.fr (attention, l'orthographe du nom y est L'Hospital)
  2. ↑ Maor, Eli, e: The Story of a Number. P. 116. Princeton University Press, 1994.
  3. ↑ Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.
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