Théorème de plancherel

Théorème de Plancherel

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel^[1].

Soit $f\$ une fonction de carré sommable sur $\mathbb{R}$ et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A,A] :

$\hat{f}_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx$

Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions $\hat{f}_A$ convergent en moyenne quadratique (c'est-à-dire pour la norme ||.||₂) vers une fonction qu'on note $\hat{f}$ et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de $f\$ .

En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction $\hat{f}$ est elle-même de carré sommable et

$f = \underset{A \mapsto +\infty}{\lim\limits_{\|\;\|_2}} \left[ \frac1{\sqrt{2\pi}}\, \int_{-A}^{A} \hat{f}(w)\, e^{iwx}\, dw\right]$

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L², qui est qui plus est une isométrie

$\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2$

Cette définition est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables.

Le théorème de Plancherel se généralise dans le cas où la transformée de Fourier est définie sur de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement compacts (cf Dualité de Pontryagin) ou encore plus simplement les groupes abéliens finis (cf Analyse harmonique sur un groupe abélien fini).

Références

↑ Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Plancherel ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de plancherel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Theoreme de Plancherel — Théorème de Plancherel Le théorème de Plancherel permet d étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel[1]. Soit une fonction de carré sommable sur et soit A>0. On… … Wikipédia en Français
Théorème de Plancherel — Le théorème de Plancherel permet d étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel[1]. Soit f une fonction de carré sommable sur ℝ et soit A>0. On peut définir la… … Wikipédia en Français
Theoreme de la progression arithmetique — Théorème de la progression arithmétique Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur du théorème En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav… … Wikipédia en Français
Plancherel — Michel Plancherel Michel Plancherel (16 janvier 1885 4 mars 1967) était un mathématicien suisse. Il est né à Bussy (Fribourg, Suisse) et a obtenu son diplôme de mathématiques de l Université de Fribourg en 1907. Il a été… … Wikipédia en Français
Théorème de la progression arithmétique — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur du théorème En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le … Wikipédia en Français
Théorème de Paley-Wiener — En mathématiques, on appelle théorème de Paley Wiener tout théorème qui relie les propriétés de décroissance à l infini d une fonction ou d une distribution avec l analyticité de sa transformée de Fourier. Ce théorème a été ainsi nommé en hommage … Wikipédia en Français
Théorème de Bessel-Parseval-Plancherel — Égalité de Parseval Pour les articles homonymes, voir Parseval. L égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de Rayleigh) est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au… … Wikipédia en Français
Michel Plancherel — (16 janvier 1885 4 mars 1967) est un mathématicien suisse. Il est né à Bussy (Canton de Fribourg, Suisse) et a obtenu son diplôme de mathématiques de l Université de Fribourg en 1907. Il a été professeur à Fribourg (1911) et… … Wikipédia en Français
Transformée de Fourier — Joseph Fourier En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l expression de la… … Wikipédia en Français
Transformation de Fourier — Transformée de Fourier Joseph Fourier En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Théorème de plancherel