- Théorème de Plancherel
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Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel[1].
Soit f une fonction de carré sommable sur ℝ et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A,A] :
Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions
convergent en moyenne quadratique (c'est-à-dire pour la norme ||.||2) vers une fonction qu'on note 
et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f.En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction
est elle-même de carré sommable et on a (au sens de la norme ||.||2) :Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2. De plus, c'est une isométrie de cet espace de Hilbert :
Cette définition est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables.
Le théorème de Plancherel se généralise dans le cas où la transformée de Fourier est définie sur de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement compacts (cf Dualité de Pontryagin), dont l'exemple le plus simple est celui des groupes abéliens finis (cf Analyse harmonique sur un groupe abélien fini).
Références
- Michel Plancherel, « Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies », dans Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, 1910, p. 298-335
Catégories :- Mécanique ondulatoire
- Spectroscopie
- Théorie de Fourier
- Théorème d'analyse
![f = \lim_{A\to+\infty}\left[ \frac1{\sqrt{2\pi}}\, \int_{-A}^{A} \hat{f}(w)\, e^{iwx}~\mathrm dw\right]](f/4cf7b60693a61ce1f132b778b33bf17e.png)
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