Théorème de Liouville (approximation diophantienne)

Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844, est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres irrationnels algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.

Énoncé

Soit a un nombre algébrique, de polynôme minimal Pa, et de degré d > 1. Alors il existe une constante c > 0 telle que pour tout rationnel, \frac{p}{q}, on ait:

\left| a - \frac{p}{q} \right| > \frac{c}{q^d}.

En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.

Démonstration du théorème

Soit k \in \mathbb{N}^* tel que P=k.P_a \in \mathbb{Z}[X].

Pour tout rationnel \frac{p}{q}, on a Y = q^dP\left(\frac{p}{q}\right) entier car P \in \mathbb{Z}[X], et Y n'est pas nul, puisque d \geq 2. Ainsi, |q^d(P(a)-P(p/q))| = |q^dP(p/q)| \geq 1.

Soit C' = max [a − 1,a + 1] | P'(x) | .

Si \left|a-\frac{p}{q}\right| \geq 1, on a immédiatement \left|a-\frac{p}{q}\right| \geq q^{-d}.

Sinon, l'inégalité des accroissements finis assure que \left|a-\frac{p}{q}\right| \geq \frac{1}{C'}\, |P(a)-P(p/q)| \geq \frac{1}{C'}\,q^{-d}

Posons C = min(1,1 / C'). On a dans tous les cas \left|a-\frac{p}{q}\right| \geq \frac{C}{q^d}.


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