- Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844, est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres irrationnels algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.
Énoncé
Soit a un nombre algébrique, de polynôme minimal Pa, et de degré d > 1. Alors il existe une constante c > 0 telle que pour tout rationnel,
, on ait:
frac{c}{q^d}" border="0">.
En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.
Démonstration du théorème
Soit
tel que
.
Pour tout rationnel
, on a
entier car
, et Y n'est pas nul, puisque
. Ainsi,
.
Soit C' = max [a − 1,a + 1] | P'(x) | .
Si
, on a immédiatement
.
Sinon, l'inégalité des accroissements finis assure que
Posons C = min(1,1 / C'). On a dans tous les cas
.
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