- Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
-
Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville.
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844, est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres irrationnels algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.
Énoncé
Soit a un nombre algébrique, de polynôme minimal Pa, et de degré d > 1. Alors il existe une constante c > 0 telle que pour tout rationnel, , on ait:
.
En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.
Démonstration du théorème
Soit tel que .
Pour tout rationnel , on a entier car , et Y n'est pas nul, puisque . Ainsi, .
Soit C' = max [a − 1,a + 1] | P'(x) | .
Si , on a immédiatement .
Sinon, l'inégalité des accroissements finis assure que
Posons C = min(1,1 / C'). On a dans tous les cas .
Catégories :- Théorème de mathématiques
- Approximation diophantienne
Wikimedia Foundation. 2010.