Théorème de Gelfond-Schneider

Théorème de Gelfond-Schneider

En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider, s'énonce de la façon suivante :

Si \alpha \, est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si \beta \, est un nombre algébrique irrationnel alors \alpha^{\beta} \, est un nombre transcendant.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert, et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 2^{\sqrt{2}} (la constante de Gelfond-Schneider), \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, ou encore e^{\pi\gamma}\, pour tout nombre réel algébrique γ (en posant α = eiπ = − 1 et β = − iγ), par exemple e^{\pi}=(-1)^{-i}\, (la constante de Gelfond) ou e^{-\pi/2}=i^i\,.

Mais par contraposée on en déduit aussi :

Si \beta \, est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique \alpha \, différent de 0 et de 1 pour lequel \alpha^{\beta} \, soit algébrique, alors \beta \, est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel \ln 3/\ln 2\, est transcendant (en utilisant α = 2).

Voir aussi

Lien externe


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