- Théorème d'Euler (nombres)
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Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Euler.En mathématiques, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire a été publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1].
Théorème d'Euler — Soit n un entier naturel et a un entier premier avec n, alors
où φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.
DémonstrationComme
, l'ensemble des éléments inversibles de 
, est l'ensemble des générateurs de 
, il a pour ordre φ(n). Pour plus de détails voir l'article Anneau Z/nZ.Soit a un entier premier avec n, la classe
de a dans 
est alors génératrice de , donc appartient à . On en déduit que l'ordre de (noté m) dans divise φ(n) d'après le théorème de Lagrange, d'où l'existence d'un entier k tel que 
.Ainsi comme
(par définition de m), on ace qui s'écrit également,
Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.
Ce théorème permet simplement la réduction modulo n de puissance. Par exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quoi est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. Le théorème d'Euler nous indique donc que
On en déduit que
Le chiffre recherché est donc 9.
Note
- Présenté à l'Académie de Berlin le 13 février 1755, puis publié par l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg sous le titre « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », dans Novi Comment. acad. sc. Petrop., vol. 7, 1761, p. 49-82. L'original en latin est disponible en ligne sur le site du Dartmouth College sous le numéro E262. Traduction en anglais : Texte en accès libre sur arXiv : math/0608467.
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