Théorème d'euler (nombres)

Théorème d'Euler (nombres)

En mathématiques, et plus particulièrement en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, nommé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que

Théorème d'Euler — Soit $n$ un entier naturel et $a$ un entier premier avec $n$ , alors

$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.$

où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Démonstration

Comme $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ , l'ensemble des éléments inversibles de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times)$ , est l'ensemble des générateurs de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ , il a pour ordre $\varphi(n)$ . Pour plus de détails voir l'article Anneau Z/nZ.

Soit $a$ un entier premier avec $n$ , la classe $\overline{a}$ de $a$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est alors génératrice de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , donc appartient à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ . On en déduit que l'ordre de $\overline{a}$ (noté $m$ ) dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ divise $\varphi(n)$ d'après le théorème de Lagrange, d'où l'existence d'un entier $k$ tel que $\varphi(n)= k\times m$ .

Ainsi comme $\overline{a}^{m}=\overline{1}$ (par définition de m), on a

$\overline{a}^{\varphi(n)}=\overline{a}^{k\times m}=(\overline{a}^{m})^{k}=\overline{1}^{k}=\overline{1};$

ce qui s'écrit également,

$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.$

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où $n$ est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.

Ce théorème permet simplement la réduction modulo $n$ de puissance. Par exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de $7222$ , c'est-à-dire trouver à quoi est congru $7222$ modulo $10$ , il suffit de voir que $7$ et $10$ sont premiers entre eux, et que $\varphi(10)=4$ . Le théorème d'Euler nous indique donc que

$7^4 \equiv 1 \pmod{10}.$

On en déduit que

$7^{222} \equiv 7^{4\times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55}\times 7^2 \equiv 1^{55}\times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}.$

Le chiffre recherché est donc $9$ .

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me d%27Euler (nombres) ».

Catégories : Arithmétique modulaire | Théorème de mathématiques

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'euler (nombres) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Theoreme d'Euler (nombres) — Théorème d Euler (nombres) En mathématiques, et plus particulièrement en arithmétique modulaire, le théorème d Euler est un théorème, nommé ainsi en l honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que Théorème d Euler … … Wikipédia en Français
Théorème d'Euler ( nombres) — Théorème d Euler (nombres) En mathématiques, et plus particulièrement en arithmétique modulaire, le théorème d Euler est un théorème, nommé ainsi en l honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que Théorème d Euler … … Wikipédia en Français
Théorème d'Euler (nombres) — Pour les articles homonymes, voir Théorème d Euler. En mathématiques, le théorème d Euler en arithmétique modulaire a été publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1] … Wikipédia en Français
Théorème d'Euler — Pour les articles homonymes, voir Euler (homonymie). Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le terme théorème d Euler est susceptible de désigner plusieurs théorèmes qui tirent leur nom de… … Wikipédia en Français
Théorème de l'aire — Théorème d Euler Pour les articles homonymes, voir Euler. Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le théorème d Euler peut désigner deux théorèmes qui tirent leur nom de Leonhard Euler. Théorème … Wikipédia en Français
Theoreme de Descartes-Euler — Théorème de Descartes Euler Le théorème de Descartes Euler (ou relation d Euler), formulé par Leonhard Euler en 1752, énonce une formule mathématique qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces dans un polyèdre du genre 0. Un polyèdre… … Wikipédia en Français
Théorème de descartes-euler — Le théorème de Descartes Euler (ou relation d Euler), formulé par Leonhard Euler en 1752, énonce une formule mathématique qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces dans un polyèdre du genre 0. Un polyèdre de genre 0 est un polyèdre… … Wikipédia en Français
Euler — Leonhard Euler « Euler » redirige ici. Pour les autres significations, voir Euler (homonymie). Leonhard Euler … Wikipédia en Français
Théorème de Descartes-Euler — Le théorème de Descartes Euler (ou relation d Euler), formulé par Leonhard Euler en 1752, énonce une formule mathématique qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces dans un polyèdre de genre 0 (c est à dire, intuitivement, un polyèdre… … Wikipédia en Français
Nombres premiers somme de 2 carrés — Théorème des deux carrés de Fermat Pierre Fermat En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c est à dire de deux carrés d’entiers) et précise de… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Théorème d'euler (nombres)