Théorème d'euler (nombres)

Théorème d'euler (nombres)

Théorème d'Euler (nombres)

En mathématiques, et plus particulièrement en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, nommé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que

Théorème d'Euler —  Soit n un entier naturel et a un entier premier avec n, alors

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.

\varphi est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.

Ce théorème permet simplement la réduction modulo n de puissance. Par exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quoi est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que \varphi(10)=4. Le théorème d'Euler nous indique donc que

7^4 \equiv 1 \pmod{10}.

On en déduit que

7^{222} \equiv 7^{4\times 55 + 2} \equiv  (7^4)^{55}\times 7^2 \equiv 1^{55}\times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}.

Le chiffre recherché est donc 9.

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