Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)
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Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Théorème d'Euler — Soient f une fonction de plusieurs variables x1,x2,...,xn, et V et W deux espaces vectoriels :

f: \begin{array}{rcl} V & \longrightarrow & W \\ \mathbf x = (x_1, x_2,\ldots, x_n) & \longmapsto & f(\mathbf x) \end{array}

Si :

  1. f est homogène de degré k et différentiable en tout point x de V, alors la relation suivante, appelée identité d'Euler est vérifiée :
    \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) \equiv \sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x})
  2. f est différentiable en tout point x de V, et si l'identité d'Euler est vérifiée, alors f est homogène de degré k sur V.
Démonstration
  1. Démonstration pour les fonctions de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}

Soit une fonction f de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R} homogène de degré k.

Soit \mathbf x = (x_1, x_2,\ldots, x_n) fixé quelconque. f étant homogène de degré k, on a :
f(\lambda \mathbf x) = \lambda ^k f(\mathbf x)
Dérivons cette égalité par rapport à λ :
\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{\lambda x}) = k \lambda^{(k-1)} f(\mathbf x)
On évalue en λ = 1 et on obtient, en remarquant que ceci vaut pour tout \mathbf x le théorème d'Euler :
\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x}) = k f(\mathbf x)

Voir aussi

Références

  • Daron Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth, chapitre 2, page 29.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables) de Wikipédia en français (auteurs)

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