Theoreme de schwartz

Théorème de Schwarz

Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :

Théorème de Schwarz — Soit $f$ , une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert $U$ de ℝⁿ. Si les dérivées partielles existent à l'ordre $p$ et sont continues en un point $x$ de $U$ , alors le résultat d'une dérivation à l'ordre $p$ ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux $p$ variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables $x$ et $y$ , on obtient :

$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)$

Démonstration

Nous allons la faire dans le cas n=2 et p=1. Soit (x₀,y₀) dans U. pour t proche de zéro, on pose

F (t) = f (x 0 + t, y 0 + t) - f (x 0, y 0 + t) - f (x 0 + t, y 0) + f (x 0, y 0)

g (y) = f (x 0 + t, y) - f (x 0, y)

de sorte que

F (t) = g (y 0 + t) - g (y 0).

On différencie par rapport à y, ce qui donne

$g'(y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+t,y) - \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y).$

On applique ensuite le théorème des accroissements finis à g entre y₀ et y₀+t. il existe donc a compris entre 0 et 1 tel que

$F(t)= t g'(y_{0}+a t) = t \left( \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+t,y_{0}+a t) - \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+a t)\right).$

Et toujours en appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction

$x \mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,y_{0}+a t)$

entre x₀ et x₀+t, il existe a' compris entre 0 et 1 tel que

$F(t) = t^{2} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)(x_{0}+a't, y_{0}+a t).$

Or les fonctions considérées ici sont continues, donc

$\frac{F(t)}{t^{2}} \underset{t \to 0}{\longrightarrow}= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x_{0},y_{0}).$

En utilisant en argument symétrique en remplaçant g par h définie par

h (x) = f (x, y 0 + t) - f (x, y 0)

on montre que

$\frac{F(t)}{t^{2}} \underset{t \to 0}{\longrightarrow}= \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x_{0},y_{0}).$

Par unicité de la limite, on a bien

$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).$

Les cas n>2 et p>1 sont analogues.

Un contre-exemple

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Considérons la fonction :

$f(x,y)= \begin{cases} \frac{x y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Les dérivées sont :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} y^3 \frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } y \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \begin{cases} x y^2 \frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Les dérivées partielles croisées d'ordre 2 en $(0,0)$ sont

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = 0\text{ et }\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = 1$

Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où $f$ est une fonction de classe $C 2$ :

$\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy$

Nous savons alors que :

$a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}$ et $b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

$\frac{\partial a(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial b(x,y)}{\partial x}$

(par dérivation et inversion de l'ordre de dérivation...)

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Schwarz ».

Catégories : Analyse à plusieurs variables | Théorème de mathématiques

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme de schwartz de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Théorème de Paley-Wiener — En mathématiques, on appelle théorème de Paley Wiener tout théorème qui relie les propriétés de décroissance à l infini d une fonction ou d une distribution avec l analyticité de sa transformée de Fourier. Ce théorème a été ainsi nommé en hommage … Wikipédia en Français
Schwartz — Schwarz Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom … Wikipédia en Français
Théorème de Baire-Brenef — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… … Wikipédia en Français
Théorème de Borel — Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel Cantelli ni Théorème de Borel Lebesgue. En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2] … Wikipédia en Français
Égalité de Schwartz — Théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s énoncer ainsi : Théorème de Schwarz Soit f, une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert U de ℝn. Si les dérivées… … Wikipédia en Français
Liste Des Théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème … Wikipédia en Français
Liste des theoremes — Liste des théorèmes Liste des théorèmes par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le… … Wikipédia en Français
Liste des théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème … Wikipédia en Français
Relation de Maxwell — Relations de Maxwell Ne doit pas être confondu avec Équations de Maxwell. En thermodynamique, on appelle relations de Maxwell l ensemble des équations aux dérivées partielles obtenues grâce aux définitions des potentiels thermodynamiques et … Wikipédia en Français
Relations de Maxwell — Ne doit pas être confondu avec Équations de Maxwell. En thermodynamique, on appelle relations de Maxwell l ensemble des équations aux dérivées partielles obtenues grâce aux définitions des potentiels thermodynamiques et à l égalité de… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Theoreme de schwartz

Théorème de Schwarz

Un contre-exemple

Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Theoreme de schwartz

Théorème de Schwarz

Un contre-exemple

Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link