- Égalité de Schwartz
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Théorème de Schwarz
Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :
Théorème de Schwarz — Soit f, une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert U de ℝn. Si les dérivées partielles existent à l'ordre p et sont continues en un point x de U, alors le résultat d'une dérivation à l'ordre p ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux p variables considérées.
Dans le cas particulier des fonctions de deux variables x et y, on obtient :
DémonstrationNous allons la faire dans le cas n=2 et p=1. Soit (x0,y0) dans U. pour t proche de zéro, on pose
- F(t) = f(x0 + t,y0 + t) − f(x0,y0 + t) − f(x0 + t,y0) + f(x0,y0)
et
- g(y) = f(x0 + t,y) − f(x0,y)
de sorte que
- F(t) = g(y0 + t) − g(y0).
On différencie par rapport à y, ce qui donne
On applique ensuite le théorème des accroissements finis à g entre y0 et y0+t. il existe donc a compris entre 0 et 1 tel que
Et toujours en appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction
entre x0 et x0+t, il existe a' compris entre 0 et 1 tel que
Or les fonctions considérées ici sont continues, donc
En utilisant en argument symétrique en remplaçant g par h définie par
- h(x) = f(x,y0 + t) − f(x,y0)
on montre que
Par unicité de la limite, on a bien
Les cas n>2 et p>1 sont analogues.
Un contre-exemple
Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.
Considérons la fonction :
Les dérivées sont :
et
Les dérivées partielles croisées d'ordre 2 en (0,0) sont
Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes
Considérons la forme différentielle exacte suivante, où f est une fonction de classe C2 :
Nous savons alors que :
et En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :
(par dérivation et inversion de l'ordre de dérivation...)
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