Theoreme de Mahler

Theoreme de Mahler

Théorème de Mahler

Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème tire son nom de Kurt Mahler (1903 - 1988).

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)\,.

On note Δ l'opérateur de différence défini par

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,.

Alors nous avons

\Delta(x)_n=n(x)_{n-1}\,

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur Δ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est xn.

Énoncé — Si f est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors

f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\Delta^k f)(0)}{k!}(x)_k\,.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carson), on a seulement besoin de la continuité.

Si f est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps de caractéristique nulle, l'identité reste valable.

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