Théorème d'Ehrenfest

Théorème d'Ehrenfest

Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec le hamiltonien \hat{H} du système.

Sommaire

Théorème

Le théorème d'Ehrenfest affirme que la valeur moyenne d’un opérateur \hat{A} est donnée par :

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle

Ce théorème s'adapte parfaitement à la représentation de Heisenberg en mécanique quantique, et il est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne, qui utilise le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. En fait, c'est une loi empirique générale qu'un théorème de mécanique quantique qui contient un commutateur puisse devenir un théorème de mécanique classique en changeant le commutateur par un crochet de Poisson et en multipliant par i\hbar.

où \hat{A} est un opérateur quantique quelconque et \langle \hat{A}\rangle sa valeur moyenne.

Démonstration du théorème

Soit A une grandeur physique représentée par l'opérateur autoadjoint \hat{A}

\langle \hat{A}\rangle = \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle

En dérivant \langle \hat{A}\rangle, on obtient

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt}|\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}|\frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt}

On remarque que \frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt} = -\frac{1}{i\hbar}\left \langle \psi (t) \right |\hat{H} et \frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\hat{H}\left | \psi (t) \right \rangle

On insère ces deux expressions dans l'expression précédente et on obtient

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle

Avec \hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A} = [\hat{A},\hat{H}], on obtient finalement

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle
 

Relations d'Ehrenfest

Pour l'exemple très général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel, l'hamiltonien est simplement

\hat{H}(x,p,t) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}(x,t)

où x est la position de la particule. On a alors les relations suivantes :

\frac{d}{dt}\langle\hat p\rangle = \langle F \rangle

\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle

En combinant ces deux relations, on retrouve une équation similaire à celle de Newton en mécanique classique :

m\frac{d^2}{dt^2}\langle \hat r\rangle = \langle\hat F \rangle

Opérateur impulsion

On suppose qu'on veut connaître la variation instantanée de la quantité de mouvement p. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \langle \frac{\partial p}{\partial t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle

puisque p commute avec lui-même et puisque lorsqu'il est représenté avec les coordonnées d'espace, l'opérateur d'impulsion

p = -i\hbar\nabla soit \frac{\partial p}{\partial t} = 0.

Donc

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~d^3x - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~d^3x.

Ensuite en appliquant la règle du produit, on a

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

on voit apparaître la seconde loi de Newton. C'est un exemple du principe de correspondance ; le résultat signifie, comme la deuxième loi de Newton, que le mouvement net d'un grand nombre de particules est exactement donné par la valeur moyenne d'une particule seule.

Opérateur position

On peut aussi obtenir une autre relation en remplaçant l'opérateur \hat A par \hat r  :

\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\hat H]\rangle + \langle \frac{\partial \hat r}{\partial \hat t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\frac{\hat p^2}{2m}]\rangle

En utilisant les relations de commutations,

[\hat r, \frac{\hat p ^2}{2m}] = \frac{i \hbar }{m} \hat p

on obtient :

\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle

Voir aussi

Bibliographie

v · d · m
Mécanique quantique
Concepts fondamentaux Décohérence · Dualité · Effet tunnel · État quantique · Fonction d'onde · Intrication · Observable · Correspondance · Superposition · Principe d'incertitude · Mesure · Spin
Expériences Fentes de Young · Expérience de Davisson et Germer · Expérience de Stern et Gerlach · Chat de Schrödinger · Gomme quantique · Paradoxe EPR · Téléportation quantique · Expérience d'Aspect
Formalisme Notation bra-ket · Équation de Schrödinger · Matrice densité · Représentation de Schrödinger · de Heisenberg · d'interaction · Diagramme de Feynman
Statistiques Maxwell-Boltzmann · Échange · Fermi-Dirac · Fermion · Bose-Einstein · Boson
Théories avancées Théorie quantique des champs · Axiomes de Wightman · Électrodynamique quantique · Chromodynamique quantique · Gravité quantique · Trou noir virtuel
Interprétations Problème de la mesure · Copenhague · Ensemble · Variables cachées

Ontologique (Bohm-Hiley)

Transactionnelle · Mondes multiples · Histoires consistantes · Logique quantique · Réduction par l'observation (consciente)
Physiciens Bohr · Bohm · Born · de Broglie · Dirac · Einstein · Everett · Feynman · Heisenberg · von Neumann · Pauli · Penrose · Planck · Schrödinger
Postulats de la mécanique quantique · Histoire de la mécanique quantique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'Ehrenfest de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme d'Ehrenfest — Théorème d Ehrenfest Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de …   Wikipédia en Français

  • théorème d’Ehrenfest — Ėrenfesto teorema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Ehrenfest’s theorem vok. Ehrenfestsches Satz, m rus. теорема Эренфеста, f pranc. théorème d’Ehrenfest, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Ehrenfest’s theorem — Ėrenfesto teorema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Ehrenfest’s theorem vok. Ehrenfestsches Satz, m rus. теорема Эренфеста, f pranc. théorème d’Ehrenfest, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Théorème H — Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, lorsqu un gaz hors d équilibre vérifie son équation. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur H(t) qui varie de façon monotone… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme d'equipartition — Équipartition de l énergie Agitation thermique d’un peptide avec une structure en hélice alpha. Les mouvements sont aléatoires et complexes, l’énergie d’un atome peut fluctuer énormément. Néanmoins, le théorème d’équipartition permet de calculer… …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'équipartition — Équipartition de l énergie Agitation thermique d’un peptide avec une structure en hélice alpha. Les mouvements sont aléatoires et complexes, l’énergie d’un atome peut fluctuer énormément. Néanmoins, le théorème d’équipartition permet de calculer… …   Wikipédia en Français

  • Théorème d’équipartition — Équipartition de l énergie Agitation thermique d’un peptide avec une structure en hélice alpha. Les mouvements sont aléatoires et complexes, l’énergie d’un atome peut fluctuer énormément. Néanmoins, le théorème d’équipartition permet de calculer… …   Wikipédia en Français

  • Paul Ehrenfest — (18 janvier 1880 à Vienne 25 septembre 1933 à Amsterdam) est un physicien théoricien autrichien. Sommaire 1 …   Wikipédia en Français

  • Relation d'Ehrenfest — En mécanique quantique, les relations d Ehrenfest font le lien avec la mécanique newtonienne. En effet, celles ci s écrivent: Relations qui, l une dans l autre, conduisent à l expression familière: Les notations …   Wikipédia en Français

  • Modele des urnes d'Ehrenfest — Modèle des urnes d Ehrenfest Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante[1]. Peu de …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”