Théorème d'Ehrenfest

Théorème d'Ehrenfest

Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec le hamiltonien \hat{H} du système.

Sommaire

Théorème

Le théorème d'Ehrenfest affirme que la valeur moyenne d’un opérateur \hat{A} est donnée par :

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle

Ce théorème s'adapte parfaitement à la représentation de Heisenberg en mécanique quantique, et il est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne, qui utilise le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. En fait, c'est une loi empirique générale qu'un théorème de mécanique quantique qui contient un commutateur puisse devenir un théorème de mécanique classique en changeant le commutateur par un crochet de Poisson et en multipliant par i\hbar.

où \hat{A} est un opérateur quantique quelconque et \langle \hat{A}\rangle sa valeur moyenne.

Démonstration du théorème

Soit A une grandeur physique représentée par l'opérateur autoadjoint \hat{A}

\langle \hat{A}\rangle = \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle

En dérivant \langle \hat{A}\rangle, on obtient

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt}|\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}|\frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt}

On remarque que \frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt} = -\frac{1}{i\hbar}\left \langle \psi (t) \right |\hat{H} et \frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\hat{H}\left | \psi (t) \right \rangle

On insère ces deux expressions dans l'expression précédente et on obtient

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle

Avec \hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A} = [\hat{A},\hat{H}], on obtient finalement

\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle
 

Relations d'Ehrenfest

Pour l'exemple très général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel, l'hamiltonien est simplement

\hat{H}(x,p,t) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}(x,t)

où x est la position de la particule. On a alors les relations suivantes :

\frac{d}{dt}\langle\hat p\rangle = \langle F \rangle

\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle

En combinant ces deux relations, on retrouve une équation similaire à celle de Newton en mécanique classique :

m\frac{d^2}{dt^2}\langle \hat r\rangle = \langle\hat F \rangle

Opérateur impulsion

On suppose qu'on veut connaître la variation instantanée de la quantité de mouvement p. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \langle \frac{\partial p}{\partial t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle

puisque p commute avec lui-même et puisque lorsqu'il est représenté avec les coordonnées d'espace, l'opérateur d'impulsion

p = -i\hbar\nabla soit \frac{\partial p}{\partial t} = 0.

Donc

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~d^3x - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~d^3x.

Ensuite en appliquant la règle du produit, on a

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

on voit apparaître la seconde loi de Newton. C'est un exemple du principe de correspondance ; le résultat signifie, comme la deuxième loi de Newton, que le mouvement net d'un grand nombre de particules est exactement donné par la valeur moyenne d'une particule seule.

Opérateur position

On peut aussi obtenir une autre relation en remplaçant l'opérateur \hat A par \hat r  :

\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\hat H]\rangle + \langle \frac{\partial \hat r}{\partial \hat t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\frac{\hat p^2}{2m}]\rangle

En utilisant les relations de commutations,

[\hat r, \frac{\hat p ^2}{2m}] = \frac{i \hbar }{m} \hat p

on obtient :

\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle

Voir aussi

Bibliographie

v · d · m
Mécanique quantique
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