Table d'intégrales

Table d'intégrales

Sommaire

Intégrales définies

On appelle intégrale définie dans l'intervalle [a,b]

\left[ F(x) \right]_{a}^{b} = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)

lorsque F\, est une primitive quelconque de f\, et que a\, et b\, sont les bornes de l'intégrale.

Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.

\int_0^{+\infty}x^n {e^{-x}\,dx} = n!   pour n = 0, 1, 2,... (fonction Gamma Γ(n + 1) )
\int_0^{+\infty}{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^{+\infty}{e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} (intégrale de Gauss)
\int_0^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^{+\infty}{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
\int_0^{+\infty}{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2} (intégrale de Dirichlet)
\int_0^{+\infty} x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z) (\Gamma\, est la fonction gamma d'Euler, définie pour z > 0)
\int_0^{+\infty}{x^{z-1}e^{-x^\alpha}\,dx} = \frac{1}{\alpha}\Gamma\left(\frac{z}{\alpha}\right) (par Intégration par changement de variable, pour z>0\, et \alpha>0\,)
\int_0^{+\infty}{\frac{x^s}{e^x-1}\,dx} = \Gamma(s+1) \zeta(s+1) (\zeta\, est la fonction zêta, définie pour z > 1)
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^3}}\,dt = \frac{1}{3}\Beta\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right) (intégrale elliptique ; Β est la fonction bêta d'Euler)
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(x))\, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))\, dx=-\frac{\pi}{2}\ln(2) (intégrales d'Euler)
\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}} (intégrales de Fresnel)
\int_0^{\pi} \ln(1-2\alpha\cos\,x+\alpha^2)\,dx= 2\pi\ln|\alpha| si |\alpha|>1\, et 0\, si |\alpha|\leq 1 (intégrale de Poisson).
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)\,dx = W_n (intégrales de Wallis)

Voyez aussi

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