Système asservi

L'automatique fait partie des sciences de l'ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l'analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la théorie du signal et l'informatique théorique. L'automatique permet l'automatisation de tâches par des machines fonctionnant sans intervention humaine. On parle alors de système asservi ou régulé.

Les hommes de l'art en automatique ou automatisme se nomment automaticiens.

Un exemple simple est celui du régulateur de vitesse d'une automobile, il permet de maintenir le véhicule à une vitesse constante, vitesse-consigne prédéterminée par le conducteur, indépendamment de la pente de la route.

Sommaire 1 Généralités, concepts 2 À propos des systèmes 2.1 Les différents systèmes 2.1.1 Systèmes à temps continu, à temps discret 2.1.2 Systèmes monovariables, systèmes multivariables 2.1.3 Système stationnaire 2.1.4 Systèmes linéaires ou non linéaires 2.2 Représentation des systèmes linéaires invariants 2.2.1 Equation différentielle et fonction de transfert 2.2.2 Représentations temporelles 2.2.3 Représentations fréquentielles 2.2.4 Représentation d'état 3 Stabilité 4 Asservissement 4.1 Contrôle en boucle ouverte 4.2 Système bouclé 4.3 Exemple de boucle de régulation 4.4 Les différentes techniques 5 Notes et références de l'article 6 Voir aussi 6.1 Articles connexes 6.2 Liens et documents externes

Généralités, concepts

On désire contrôler la température d'un four. La première tâche consiste à analyser le système "four" et à le modéliser sous forme d'équations. On pourra ainsi précisément relier l'entrée du système (une tension commandant la température) à la sortie (la température voulue du four). Cette relation peut se faire sous la forme d'une équation différentielle ou d'une fonction de transfert. On détermine aussi les conditions de stabilité du système (on ne veut pas que le four se mette à augmenter la température sans s'arrêter). On va ensuite synthétiser un nouveau système, le "régulateur", celui-ci aura pour entrées la consigne (c'est à dire la température souhaitée à l'intérieur du four) ainsi que la température réelle du four fourni par un capteur et pour sortie la commande du four. Les deux systèmes "régulateur" et "four" sont mis en cascade. L'ensemble forme ce qu'on appelle un système asservi. Celui-ci doit répondre à un certain nombre d'exigences:

• La stabilité (le régulateur ne doit pas rendre le système instable),
• la poursuite (la température du four doit atteindre la température en consigne, on peut spécifier dans le cahier des charges si on a des contraintes de rapidité ou de dépassement),
• le rejet des perturbations (on ouvre la porte du four, la température descend, la température doit rejoindre la température voulue).

Le "régulateur" peut alors être réalisé sous forme analogique (Circuit électronique avec résistances, condensateurs ...) ou numérique (Microcontrôleur).

À propos des systèmes

Un système est une modélisation d'un procédé en fonctionnement. Il possède une ou plusieurs entrées, et une ou plusieurs sorties.

Les entrées du système sont appelées variables exogènes, qui rassemblent les perturbations et les variables manipulées, commandes ou grandeurs de réglage. Elles sont souvent représentées de manière générique par la lettre u ou e. Elles sont reliées au procédé en tant que tel par un actionneur.

Les sorties du système sont appelées variables contrôlées, mesures ou grandeurs réglées. Elles sont souvent représentées de manière générique par la lettre y. Le procédé est relié à la sortie du système par un capteur.

Dans le cas d'un système échantillonné, les entrées et sortie sont à temps discret, mais le système en-lui même demeure à temps continu. Le système inclut donc un convertisseur numérique-analogique en entrée, un convertisseur analogique-numérique en sortie et une horloge permettant de fixer la fréquence d'échantillonnage.

Il existe une infinité d'exemples de systèmes : des systèmes mécaniques, des systèmes électriques ou des procédés chimiques. La représentation du système ne pourra alors se faire qu’avec de bonnes connaissances dans le domaine physique correspondant.

Les différents systèmes

Les systèmes peuvent être classés en plusieurs catégories.

Systèmes à temps continu, à temps discret

• Systèmes à temps continus : ce sont les systèmes qui existent naturellement.

• Systèmes à temps discrets : ce sont des systèmes dont le temps a été discrétisé. Ces systèmes n'existent pas à l'état naturel (la majorité des systèmes physiques naturels sont de type à temps continu), mais étant donné que la plupart des contrôleurs utilisés en automatique sont calculés par des processeurs numériques, il est parfois intéressant de modéliser le système commandé comme un système à temps discret.

• Systèmes à évènements discrets : systèmes dont le fonctionnement peut être modélisé par des évènements discrets. Généralement, ces systèmes sont modélisés par des réseaux de Petri, ou par les algèbres de dioïdes. Des exemples sont les réseaux ferroviaires, ou le fonctionnement d'une chaîne de montage.

• Systèmes hybrides : systèmes dont la modélisation nécessite l'utilisation des techniques liées aux systèmes continus et aux systèmes à évènements discrets, par exemple : une boîte de vitesse de voiture.

Systèmes monovariables, systèmes multivariables

Quatre possibilités existent:

• le système a une entrée et une sortie, c'est un système monovariable ou SISO (Single Input Single Output),
• le système a plusieurs entrées et plusieurs sorties, c'est un système multivariable ou MIMO (Multiple Input Multiple Output),
• le système a une entrée et plusieurs sorties, système SIMO,
• le système a plusieurs entrées et une sortie, système MISO.

Système stationnaire

Ce sont des systèmes dont les paramètres du modèle mathématique ne varient pas au cours du temps.

Systèmes linéaires ou non linéaires

On dit qu'un système est linéaire si la sortie est linéaire par rapport à l'entrée.

Aucun système n'est strictement linéaire, ne serait-ce que par les saturations (butées physiques, par exemple) qu'il comporte ou encore par les phénomènes d'hystérésis.

Inversement, un système non-linéaire peut parfois être considéré comme linéaire dans une certaine plage d'utilisation. Il faut toujours garder à l'esprit que le système sur lequel on peut travailler n'est qu'un modèle mathématique de la réalité, et que par conséquent il y a une perte d'information lors du passage au modèle. Bien sûr, il incombe à l'ingénieur de juger la pertinence de son modèle vis à vis des objectifs fixés.

Représentation des systèmes linéaires invariants

Les automaticiens ont l'habitude de représenter graphiquement un système asservi par l'utilisation de schéma-bloc.

Equation différentielle et fonction de transfert

Un système physique se décrit généralement avec des équations différentielles (principe fondamental de la dynamique, caractéristique d’un condensateur ou d’une bobine …). La transformée de Laplace permet alors de passer de l’équation différentielle à une fonction de transfert.

Pour un système à temps discret on utilise la transformée en Z.

Cette fonction permettra de déduire le comportement entrée-sortie du système.

Représentations temporelles

On peut s’intéresser au comportement du système lorsqu’on le soumet à certains signaux comme une impulsion de Dirac ou un échelon. On peut en déduire un certain nombre de caractéristiques du système.

Représentations fréquentielles

Le diagramme de Bode représente, sur des graphes séparés, le gain et la phase en fonction de la fréquence.

Le lieu de Nyquist représente la partie imaginaire de la fonction de transfert en fonction de la partie réelle.

Enfin le diagramme de Black représente le gain en fonction de la phase.

Représentation d'état

La représentation d'état est une représentation matricielle du système. On s'intéresse à des variables internes aux systèmes, appelées variables d'état. On représente alors la dérivée des variables d'état en fonction d'elles-mêmes et de l'entrée, ainsi que la sortie en fonction des variables d'état et de l'entrée.

De cette représentation on peut déduire le comportement entrée-sortie du système (On peut déduire de la représentation d'état la fonction de transfert) mais aussi un certain nombre d'autres informations comme la commandabilité ou l' observabilité.

La représentation d’état peut aussi représenter un système non-linéaire ou un système variant dans le temps.

Stabilité

Dans le cas des systèmes linéaires représentés par une fonction de transfert, l'analyse des pôles permet de conclure sur la stabilité du système. On rappelle que les pôles d'une fonction de transfert sont les complexes p0,p1... qui annulent le dénominateur.

• Dans le cas d'une fonction de transfert continue utilisant la transformée de Laplace, tous les pôles doivent être à partie réelle strictement négative pour que le système soit stable.
• Dans le cas d'une fonction de transfert discrète utilisant la transformée en Z, tous les pôles doivent avoir un module inférieur à 1 pour que le système soit stable.

Attention, en automatique, le terme stabilité doit être défini précisément car il existe une dizaine de sortes de stabilités différentes. En général on fait référence à une stabilité asymptotique.

Dans le cas des systèmes non-linéaires, la stabilité est généralement étudiée à l'aide de la théorie de Lyapunov.

Asservissement

Contrôle en boucle ouverte

Dans de rares cas, l'asservissement se fait en boucle ouverte, en tenant compte uniquement de la consigne.

Système bouclé

La technique d'automatisation la plus répandue est le contrôle en boucle fermée. Un système est dit en boucle fermée lorsque la sortie du procédé est prise en compte pour calculer l'entrée. Généralement le contrôleur effectue une action en fonction de l’erreur entre la mesure et la consigne désirée. Le schéma classique d'un système linéaire pourvu d'un régulateur linéaire en boucle fermée est le suivant:

La boucle ouverte du système est composée du procédé et du correcteur. La fonction de transfert de ce système en boucle ouverte est donc:

Avec cette architecture on peut recalculer une nouvelle fonction de transfert du système : la fonction de transfert en boucle fermée à l'aide des relations entre les différentes variables :

e(s) = r(s) − y(s)

On obtient alors :

La fonction représente la fonction de transfert en boucle fermée. On peut remarquer que  : c’est la formule de Black qui permet de passer d’une fonction de transfert en boucle ouverte à une fonction de transfert en boucle fermée.

Remarques :

• La boucle de retour est le chemin qui part de la sortie et qui revient au comparateur avec le signe "moins". Dans cette boucle, il y a généralement un bloc représentant, dans la plus grande majorité des cas, un capteur. Si ce bloc a comme fonction de transfert "1" (ce qui équivaut à une absence de bloc car la multiplication par 1 ne change rien), on dit que le schéma-bloc est à retour unitaire. La formule précédemment énoncée n'est valable que si le schéma-bloc est à retour unitaire.

• Quel que soit le schéma-bloc (unitaire ou non, avec ou sans perturbation, ...), le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est toujours : 1 + H_BO(s) avec H_BO(s) étant la fonction de transfert en boucle ouverte c'est-à-dire le produit de tous les blocs de la boucle, y compris ceux de la boucle de retour.

L'étude de cette fonction de transfert en boucle fermée permet l'analyse fréquentielle et temporelle du système général avec le contrôleur.

Exemple de boucle de régulation

Reprenons l’exemple du moteur automobile.

On le commande en choisissant l'ouverture du papillon des gaz intégré au système d'injection du moteur. L'ouverture est directement liée à la force appliquée sur le piston donc à l’accélération du véhicule. Disons qu’elles sont proportionnelles (on néglige les pertes et la résistance de l’air sur le véhicule).

On veut maintenir une certaine vitesse, 90 km/h par exemple. 90 km/h est la consigne, il faut la comparer à la vitesse réelle donnée par un tachymètre.
La différence donne la variation de vitesse à réaliser. On en déduit l’accélération à demander au véhicule.
Connaissant le rapport entre l’accélération et l'ouverture du papillon, on calcule l'ouverture à donner au papillon pour s’approcher de la vitesse de consigne. Le compteur de vitesse prend alors la nouvelle valeur de la vitesse pour réitérer l’opération. De cette manière, lorsqu’on approche de la vitesse voulue, l’accélération diminue jusqu’à s’annuler sans brutalité.
On obtient donc ce schéma.

En réalité, à cause des pertes, il faut maintenir une certaine accélération entre autres pour lutter contre la résistance de l’air.

Les différentes techniques

Il existe différentes techniques pour synthétiser les régulateurs. La technique industrielle la plus largement utilisée est le régulateur PID qui calcule une action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée en fonction de l’erreur consigne/mesure. Cette technique permet de satisfaire la régulation de plus de 90% des procédés industriels. La commande à modèle interne est également répandue.

Des techniques avancées se basent sur la commande par retour d'état (ou commande par retour d'état reconstruit par un observateur). On peut aussi utiliser la commande par placement de pôles souvent appelé régulateur RST.

Autres commandes :

• La Commande LQ
• La Commande LQG
• La H infini
• La commande prédictive se basant sur l'utilisation d'un modèle dynamique du système pour anticiper son comportement futur.
• La commande robuste permettant de garantir la stabilité par rapport aux perturbations et aux erreurs de modèle.
• La commande adaptative qui effectue une identification en temps réel pour actualiser le modèle du système.
• La logique floue utilisant un réseau de neurones ou un système expert.
• Les contrôleurs non linéaires utilisant la théorie de Aleksandr Lyapunov, comme les commandes linéarisantes ou la commande par modes glissants, plus robuste.
• La commande par platitude différentielle, qui permet l'inversion de modèle sans passer par l'intégration des équations différentielles, et ainsi de calculer les signaux nécessaires sur les entrées pour garantir les trajectoires voulues en sortie.

Notes et références de l'article

Voir aussi

Articles connexes

• Régulateur PID
• Commande prédictive
• Représentation d'état
• Cybernétique
• Automate programmable industriel
• Identification de système
• Les articles de Catégorie:Automatique

Liens et documents externes

• Philipe de Larminat, Automatique, commande des systèmes linéaire, Hermes
• Patrick Prouvost, Automatique Contrôle et régulation, Dunod
• Sandrine Le Ballois, Pascal Codron : Automatique : systèmes linéaires et continus, Dunod
• Hassan K. Khalil, Non linear Systems, Prentice Hall
• Bode, Network analysis and feedback amplifier designer, D. Van Nostrand Company

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Régulateurs : régulateur PID • Commande prédictive • contrôleur floue
Types de stabilité : Stabilité de Lyapunov • Stabilité asymptotique • Stabilité EBSB
Représentations mathématiques : Représentation d'état • Fonction de transfert • Transformée en Z • Transformée de Laplace
Représentations graphiques : Diagramme de Nyquist • Diagramme de Bode • Diagramme de Black

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