Série spectrale (mathématiques)

Série spectrale (mathématiques)

Suite spectrale


En algèbre homologique, plus particulièrement en topologie algébrique et en cohomologie de groupe, une suite spectrale est une suite de modules différentiels (En,dn) tels que

En+1 = H(En) = ker dn / im dn

est l'homologie de En.

Il y a plusieurs manières en pratique pour obtenir une telle suite. Historiquement, depuis 1950, les arguments des suites spectrales ont été un outil performant pour la recherche, notamment dans la théorie de l'homotopie.

Sommaire

Explication générale

Pour chaque nouvelle feuille, on effectue un calcul sur la précédente.

Une manière de visualiser ce qui se produit dans une suite spectrale est l'utilisation de la métaphore du bloc-note. E1 étant la première feuille de données, la feuille E2 en dérive par un processus défini; et ainsi de suite pour les feuilles E3, E4... Le résultat final du calcul serait la dernière feuille du bloc-notes.

En pratique Ei contient certaines données de gradation, souvent même deux. Chaque feuille est ensuite transformée en tableau, agencé en lignes et colonne, avec un groupe abélien dans chaque cellule. Chaque feuille possède aussi des "différentielles", qui agissent depuis chaque cellule de la feuille sur une autre cellule. Le processus défini est alors un moyen de calculer l'état de chaque cellule sur la feuille suivante à partir de la feuille courante, en suivant les différentielles.

Pour être rigoureux, l'élément En devrait indiquer deux indices :

Enp,q

avec les différentielles dnp,q agissant depuis Enp,q sur un Enp+a,q+b, avec a et b ne dépendant que de n.

Filtrations

Des suites spectrales apparaissent souvent lors des calculs de filtration d'un module E0. Une filtration

A_{-2} = A_{-1} = A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset \ldots

d'un module induit une suite exacte courte

0 \to A \hookrightarrow A \to B \to 0,

avec B, le quotient j de A par son image sous l'inclusion i, et dont la différentielles est induite par celle de A. Soit A1 = H(A) et B1 = H(B); une série exacte longue,

\ldots \to A_1 \to A_1 \to B_1 \to A_1 \to \ldots

est donné par le lemme du serpent. Si nous appelons les cartes affichées i1, j1, et k1, et si A2 = i1A1 et B2 = ker j1k1 / im j1k1, on peut démontrer que

\ldots \to A_2 \to A_2 \to B_2 \to A_2 \to \ldots

est une autre suite exacte.

Exemples

Quelques suites spectrales notoires :

  • suite spectrale de Leray-Serre
  • suite spectrale de Hochschild-Serre
  • suite spectrale d'Adams
  • suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch
  • suite spectrale d'Adams-Novikov
  • suite spectrale de Grothendieck
  • suite spectrale chromatique
  • suite spectrale d'Eilenberg-Moore
  • suite spectrale de Bockstein

Références

  • A User's Guide to Spectral Sequences par John McCleary
  • Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory, par Robert Mosher and Martin Tangora
  • Séminaire Henri Cartan de l'Ecole Normale Supérieure, 1950/1951. Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux
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