Suite de Tribonacci

Une suite de Tribonacci est une suite dont la relation de récurrence est inspirée de celle de la suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des trois termes qui le précèdent. Dans une suite de Fibonacci, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.

Le terme de Tribonacci est un néologisme formé de tri (récurrence à trois termes) et de bonacci (en allusion au mathématicien Fibonacci). Il existe de même des suites de Tetranacci où chaque terme est la somme des 4 termes qui le précèdent et même des suites de k-bonacci où chaque terme est la somme des k termes qui le précèdent.

Un nombre tribonaccique est un entier de la suite de Tribonacci.

Une suite de Tribonacci est aussi une suite de "mots" de 3 lettres construite à l'aide de la substitution de Tribonacci : a donne ab, b donne ac et c donne a

Étude mathématique

La suite de Tribonacci est définie par

$T_0 = 0\,$ , $T_1 = 1\,$ , $T_2 = 1\,$
pour tout entier positif n, $T n + 3 = T n + 2 + T n + 1 + T n$

Le calcul des premiers termes se fait aisément : 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, ... ( N.J.A. Sloane A000073)

L'étude des suites récurrentes linéaires permet de dire que cette suite est combinaison linéaire des trois suites $(r_1^n)$ , $(r_2^n)$ , $(r_3^n)$ où les $r i$ sont les trois racines du polynôme : $x 3 - x 2 - x - 1$

La racine réelle (environ égale à 1,8393) est appelée constante de Tribonacci et correspond à la limite du quotient de deux termes consécutifs. Les formules de Cardan en donnent une valeur exacte :

$\frac{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+1}{3}$

Les deux racines complexes sont conjuguées l'une de l'autre et de module inférieur à 1. Elles sont parfois appelées nombres de Tribonacci.

Le terme général de la suite est alors :

$T_n = a_1r_1^n + a_2r_2^n + a_3r_3^n$ où les

a i

sont donnés par les formules suivantes :

$a_1 = \frac{r_1}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}$

$a_2 = \frac{r_2}{(r_2-r_3)(r_2-r_1)}$

$a_3 = \frac{r_3}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}$

On peut aussi travailler sur la fonction génératrice de cette suite, c’est-à-dire la série formelle :

$\sum T_nX^n = F$

La fonction génératrice de la suite $T n - 1$ est alors XF, celle de $T n - 2$ est $X 2 F$ et celle de $T n - 3$ est $X 3 F$ , la relation de récurrence, valable pour tout n supérieur ou égal à 3 , $T n = T n - 1 + T n - 2 + T n - 3$ assure que

F = X F + X 2 F + X 3 F + X + X 2 - X 2

Les termes en complément correspondent aux 3 premiers termes des suites. Il suffit alors de résoudre cette équation. La fonction génératrice de la suite est donc :

$F = \frac{X}{1-X-X^2-X^3} = X + X^2 + 2X^3 + 4X^3 + 7X^4 + ....$

Hoggat en 1980 a prouvé qu'il existait une partition de N en deux ensembles A et B non-vides tels qu'aucun élément de la suite de Tribonacci ne soit somme d'un élément de A et d'un élément de B

Suite de mots de Tribonacci

C'est la suite de mots définie par :

M(1) = a

et par la substitution de Tribonacci suivante :

a donne ab, b donne ac et c donne a

Cette suite de mots intervient dans la construction du fractal de Rauzy.