- Stabilité EBSB
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La stabilité EBSB est une forme particulière de stabilité des systèmes dynamiques étudiés en automatique, en traitement du signal et plus spécifiquement en électrotechnique. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée : si un système est stable EBSB, alors pour toute entrée bornée, la sortie du système l’est également.
Sommaire
Condition dans le domaine temporel
Un système linéaire invariant et à temps continu est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable, i.e. si sa norme L1 existe :
En temps discret, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. si sa norme existe :Démonstration
Elle est proposée en temps discret, mais les mêmes arguments s’appliquent en temps continu.
Condition nécessaire
À l’entrée bornée correspond la sortie satisfaisant
où * est le produit de convolution, c'est-à-dire :
En particulier
Ainsi puisque est borné.
Condition suffisante
Considérons une entrée bornée, c'est-à-dire , et supposons . Alors la sortie satisfait
- (par l'inégalité triangulaire)
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Ainsi est également borné.
Condition dans le domaine fréquentiel
Signal continu
Soit un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction de transfert est supposée être rationnelle. En notant les pôles (racines complexes du dénominateur) et l’abscisse de convergence définie par , on montre que le système est stable EBSB si et seulement si .
Preuve
Puisque que est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle ,
et le domaine de convergence est le demi-plan .
Si le système est stable EBSB, alors est dans L1 et il y a convergence en puisquequi, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent
Supposons . Puisque, par l’hypothèse de rationalité, est de la formela transformée inverse de Laplace donne
qui est dans L1 et le système est stable EBSB.
Signal discret
Soit un système linéaire invariant et à temps discret dont la fonction de transfert est supposée être rationnelle. En notant les pôles et le module de convergence défini comme le maximum des modules des pôles, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si .
Preuve
Puisque que est la transformée en z de la réponse impulsionnelle ,
et le domaine de convergence est l’extérieur d’un cercle, soit .
Si le système est stable EBSB, alors est dans et il y a convergence en puisquequi, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent
Supposons . Puisque , par l’hypothèse de rationalité, est de la formel’inverse de la transformée en z donne
qui est dans et le système est stable EBSB.
Critères de Stabilité
Pour déterminer si un système physique représenté par un schéma-bloc est stable ou non, on peut utiliser plusieurs méthodes ou plusieurs critères. Il existe 2 types de critères : les critères numériques (comme celui de Routh par exemple, cf polynôme de Hurwitz) ou les critères graphiques (comme le critère du Revers ou le critère de Nyquist). Ces critères permettent uniquement de déterminer si le système est stable ou non mais ils n'indiquent pas le degré de stabilité (c'est-à-dire si le système est plus ou moins stable). Pour apprécier ce fameux degré de stabilité, on est amené à utiliser d'autres outils tels que les marges de phase et les marges de gain ou le facteur de résonance par exemple.
Voir aussi
- Portail de l’électricité et de l’électronique
- (par l'inégalité triangulaire)
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