- Sous-espace vectoriel engendré
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Etant donnée une partie (pas nécessairement finie) A d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, le sous-espace vectoriel engendré par A est exactement le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. Des définitions équivalentes sont données ci-dessous. L'engendrement par une famille de vecteurs se définit de même en prenant . Par exemple, dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K, le sous-espace engendré par les monomes X2i pour i entier est le sous-espace des polynômes de la forme P(X2).
Une famille de vecteurs ou une partie A est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.
Sommaire
Définitions équivalentes
Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K. Le sous-espace engendré par A peut etre défini comme :
- Le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A, comme dans l'introduction ;
- Ou le sous-ensemble <A> de E des combinaisons linéaires des vecteurs de A.
Ces deux sous-ensembles de E sont égaux : la démonstration doit justifier en particulier que <A> est bien un sous-espace vectoriel de E. Un vecteur appartient à <A> ssi il existe une famille de scalaires à support fini telle que
- .
De manière naturelle, <A> est un espace vectoriel. La partie A, contenue dans <A>, est appelée partie génératrice de A, ou ensemble de générateurs de A.
La définition s'étend à une famille quelconque de vecteurs de E. (Les vecteurs vi peuvent éventuellement être égaux.) Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté , est :
où est l'ensemble des entiers naturels. En particulier, Vect(vi) est le sous-espace vectoriel engendré par la partie . Toutes les combinaisons linéaires écrites ci-dessus portent sur un nombre fini de vecteurs.
Les familles de scalaires à support fini forment un espace vectoriel sur K, noté K(I). L'addition vectorielle s'effectue composante par composante. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'image de l'application linéaire .
Base
Article détaillé : Base.Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.
Exemples
- L'espace vectoriel réel admet {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est {(1,2,3),(0,1,2),( − 1,1 / 2,3),(1,1,1)} mais celui-ci n'est pas une base de parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} n'engendre pas ; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de dont la dernière composante est nulle.
- Dans l'espace vectoriel usuel, , considérons les vecteurs u1 = (1,0,0) et u2 = (1,1,0). On a
- Soit . On a
- .
Théorèmes
Théorème 1 : est un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs .
Ce résultat est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.
Théorème 2 : Vect(A) est aussi un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de E, contenant A.
Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.
Démonstration du théorème 1 :
Stabilité pour la somme :
Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de sont et .
Nous avons à montrer que x + y est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire :
et puisque pour tout i, ai + bi est un scalaire de K, nous voyons que x + y est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.
Stabilité pour la multiplication par un scalaire :
Soit c un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: .
Nous avons à montrer que c.x est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.
Nous avons
et puisque pour tout i, c.ai est aussi un scalaire le résultat est acquis.
est non vide.
Le vecteur nul de E, 0E est une combinaison linéaire de puisque nous pouvons écrire:
(Ici, 0K est l'élément neutre additif du corps K.)
Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons .
Minimalité :
Supposons que F soit un autre sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs .
Alors F est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires , est un élément de F. Ainsi, , l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de F.
Propriétés
- Soient n vecteurs d'un espace vectoriel E. Nous avons
- La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n si et seulement si la famille est libre.
- Pour toutes parties A et A' de E,
- .
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