Sous-espace vectoriel engendré

Sous-espace vectoriel engendré

Etant donnée une partie (pas nécessairement finie) A d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, le sous-espace vectoriel engendré par A est exactement le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. Des définitions équivalentes sont données ci-dessous. L'engendrement par une famille de vecteurs (v_i)_{i\in I} se définit de même en prenant A=\{v_i,\, i\in I\}. Par exemple, dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K, le sous-espace engendré par les monomes X2i pour i entier est le sous-espace des polynômes de la forme P(X2).

Une famille de vecteurs (v_i)_{i\in I} ou une partie A est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Sommaire

Définitions équivalentes

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K. Le sous-espace engendré par A peut etre défini comme :

  • Le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A, comme dans l'introduction ;
  • Ou le sous-ensemble <A> de E des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Ces deux sous-ensembles de E sont égaux : la démonstration doit justifier en particulier que <A> est bien un sous-espace vectoriel de E. Un vecteur appartient à <A> ssi il existe une famille (\lambda_i)_{i\in I} de scalaires à support fini telle que

v=\sum_{i\in I}\lambda_iv_i.

De manière naturelle, <A> est un espace vectoriel. La partie A, contenue dans <A>, est appelée partie génératrice de A, ou ensemble de générateurs de A.

La définition s'étend à une famille quelconque (v_i)_{i\in I} de vecteurs de E. (Les vecteurs vi peuvent éventuellement être égaux.) Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté {\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right), est :

{\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right) = \left\{ \lambda_{i_1} v_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_k} v_{i_k} | k \in \mathbb{N}, i_1, \ldots, i_k \in I, \lambda_{i_1} ,\ldots, \lambda_{i_k} \in \mathbb{K} \right\}

où \mathbb{N} est l'ensemble des entiers naturels. En particulier, Vect(vi) est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A=\{v_i,i\in I\}. Toutes les combinaisons linéaires écrites ci-dessus portent sur un nombre fini de vecteurs.

Les familles (\lambda_i)_{i\in I} de scalaires à support fini forment un espace vectoriel sur K, noté K(I). L'addition vectorielle s'effectue composante par composante. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (v_i)_{i\in I} est l'image de l'application linéaire \begin{matrix} K^{(I)} & \rightarrow & E\\ (\lambda_i)_{i\in I} & \rightarrow & \sum_{i\in I}\lambda_iv_i\end{matrix}.

Base

Article détaillé : Base.

Une base de E est une famille génératrice (v_i)_{i\in I} constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Exemples

  • L'espace vectoriel réel \mathbb{R}^3 admet {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est {(1,2,3),(0,1,2),( − 1,1 / 2,3),(1,1,1)} mais celui-ci n'est pas une base de \mathbb{R}^3 parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} n'engendre pas \mathbb{R}^3; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de \mathbb{R}^3 dont la dernière composante est nulle.
  • Dans l'espace vectoriel usuel, \mathbb{R}^3, considérons les vecteurs u1 = (1,0,0) et u2 = (1,1,0). On a
{\rm Vect}(u_1, u_2)=\{(\lambda+\mu,\mu,0)/(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\}=\{(x,y,0)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}
  • Soit P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/x+y-z=0\}. On a
P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}={\rm Vect}((1,0,1),(0,1,1)).

Théorèmes

Théorème 1 : {\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n) est un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs v_1, \ldots, v_n.

Ce résultat est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.

Théorème 2 : Vect(A) est aussi un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de E, contenant A.

Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.

Démonstration du théorème 1 :

Stabilité pour la somme :

Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de {\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n) sont x=a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n et y=b_1.v_1+\ldots+b_n.v_n.

Nous avons à montrer que x + y est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire :

x + y = ( a_1 + b_1 ) v_1 + \cdots + ( a_n + b_n ) v_n \,

et puisque pour tout i, ai + bi est un scalaire de K, nous voyons que x + y est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.

Stabilité pour la multiplication par un scalaire :

Soit c un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: x=a_1.v_1+\ldots+a_n.v_n.

Nous avons à montrer que c.x est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Nous avons

c x = ( c a_1 ) v_1 + \cdots + ( c a_n ) v_n \,

et puisque pour tout i, c.ai est aussi un scalaire le résultat est acquis.

{\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n) est non vide.

Le vecteur nul de E, 0E est une combinaison linéaire de v_1, \ldots, v_n puisque nous pouvons écrire:

0_E=0_Kv_1+0_Kv_2+\cdots+0_Kv_n\,

(Ici, 0K est l'élément neutre additif du corps K.)

Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons \forall v\in E,\quad 0_K.v=0_E.

Minimalité :

Supposons que F soit un autre sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs v_1, \ldots, v_n.

Alors F est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires a_1, \ldots, a_n, a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n est un élément de F. Ainsi, {\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n), l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de F.

Propriétés

  • Soient v_1, \ldots, v_n n vecteurs d'un espace vectoriel E. Nous avons
\textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1}) = \textrm{Vect} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_n \in \textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1})
  • La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n si et seulement si la famille est libre.
  • Pour toutes parties A et A' de E,
    • A\subset A'\Rightarrow {\rm Vect}(A)\subset {\rm Vect}(A')
    • {\rm Vect}(A\cup A')={\rm Vect}(A)+{\rm Vect}(A').

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-espace vectoriel engendré de Wikipédia en français (auteurs)

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