- Dioïde
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En mathématiques et en informatique, un dioïde est un semi-anneau dans lequel le préordre défini par l'addition est une relation d'ordre.
Définition
Soit D un ensemble muni d'un opérateur binaire
, nommé addition, d'un opérateur binaire 
, nommé produit, et dans lequel sont spécifiés deux éléments distincts, notés 0 et 1.On note ≤ le préordre défini par l'opérateur
, c'est-à-dire que 
.On dit que
est un dioïde si :
est un monoïde commutatif ;
est un monoïde ;- est distributif par rapport à ;
- 0 est un élément absorbant pour , c'est-à-dire que
; - la relation ≤ est une relation d'ordre, c'est-à-dire que
.
Si l'on omet le dernier point, la structure ainsi définie est un semi-anneau.
Le nom de dioïde provient du fait qu'il combine deux monoïdes, comme tout semi-anneau (en particulier tout anneau). Le dioïde et l'anneau sont tous deux des semi-anneaux, mais sont exclusifs l'un de l'autre.
Dioïde idempotent
Le dioïde idempotent est la classe de dioïde la plus utilisée. Elle se caractérise le fait que tout élément a est idempotent pour
, c'est-à-dire que 
.Par exemple,
est un dioïde idempotent.Tout semi-anneau idempotent est un dioïde.
DémonstrationSi
alors il existe c tel que 
, d'où 
.De même, si
alors 
.On conclut en utilisant la commutativité de
.Les semi-anneaux idempotents sont donc exactement les dioïdes idempotents.
Référence
Michel Gondran et Michel Minoux, Graphes, dioïdes et semi-anneaux, Paris, Tec & Doc, 2001 (ISBN 2-7430-0489-4)
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