Seizième problème de Hilbert
- Seizième problème de Hilbert
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Le seizième problème de Hilbert est l'un des 23 problèmes de Hilbert.
Il comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles (ovales) d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet. La seconde partie du problème pose la question du nombre maximal et de la position mutuelle des cycles limites de Poincaré (orbites périodiques isolées) pour une équation différentielle polynomiale plane de degré donné ; cette question est encore ouverte.
Mise à part l'hypothèse de Riemann (huitième problème de Hilbert), il semble que ce soit le problème le plus insaisissable des problèmes de Hilbert. Il figure sur la liste des problèmes de Smale sous le numéro 13.
Il a été prouvé par Jean Écalle et Yulii Ilyashenko (1991-1992) que le nombre des cycles limites d'une équation polynomiale donnée est fini (résultat affirmé précédemment par Henri Dulac en 1923). Il n'est toujours pas connu (2008) si le nombre maximal H(N) des cycles limites d'une équation polynomiale de degré donné N > 1 est fini.
Sources
- J. Écalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
- YU. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
- YU. Ilyashenko, Centennial History of Hilbert's 16th Problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Seizième problème de Hilbert de Wikipédia en français (auteurs)
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