- Problèmes de Smale
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En mathématiques, les problèmes de Smale forment une liste de 18 problèmes non résolus en mathématiques, proposée par Steve Smale en 2000[1]. Smale a donné cette liste en réponse à une demande de Vladimir Arnold, alors président de l'union mathématique internationale, qui avait proposé à plusieurs mathématiciens de composer une liste de problèmes pour le 21e siècle, dans l'esprit de la liste des problèmes de Hilbert. Certains des problèmes de Smale font partie de la liste, établie également en 2000, des problèmes du prix du millénaire.
Liste des problèmes
La table suivante donne une brève description des problèmes et de l'état actuel des recherches ; pour une présentation plus rigoureuse, voir l'article de Smale cité en référence.
# Formulation État 1 Hypothèse de Riemann (8e problème de Hilbert et 1er problème du prix du millénaire) 2 Conjecture de Poincaré (2e problème du prix du millénaire) Démontrée par Grigori Perelman. 3 Est-ce que P = NP ? (3e problème du prix du millénaire) 4 Nombre des racines entières des polynômes à une variable 5 Hauteur des solutions des équations diophantiennes 6 En mécanique céleste, le nombre d'équilibres relatifs est-il fini ? 7 Distribution optimale de points sur la 2-sphere 8 Utilisation des systèmes dynamiques en économie 9 Le problème d'optimisation linéaire 10 Le « lemme de fermeture » dans le cas discret Démontré par Charles Pugh dans le cas continu en 1967 ; voir le lemme de fermeture de Pugh (en) 11 Les dynamiques de dimension 1 sont-elles hyperboliques en général ? 12 Centraliseurs des difféomorphismes Résolu en topologie C1 par C. Bonatti, S. Crovisier et A. Wilkinson[2]. 13 Le seizième problème de Hilbert 14 Attracteur de Lorenz Résolu par Warwick Tucker (de), en utilisant l'arithmétique des intervalles[3]. 15 Stabilité des solutions des équations de Navier-Stokes (6e problème du prix du millénaire) 16 Conjecture du jacobien (ou conjecture de Dixmier (en), qui lui est équivalente) 17 Résolution des équations polynomiales en temps polynomial Partiellement résolu par Carlos Beltrán Alvarez et Luis Miguel Pardo, qui construisirent un algorithme probabiliste de complexité polynomiale (en)[4]. Une autre solution partielle a été donnée par Felipe Cucker et Peter Bürgisser, utilisant une « analyse lissée » d'un algorithme probabiliste analogue au précédent, ce qui leur permit de construire[5] un algorithme déterministe en temps NO(log log N). 18 Limites de l'intelligence Notes et références
- Steve Smale, « Mathematical problems for the next century », dans Mathematics: frontiers and perspectives, American Mathematics Society, 2000, p. 271-294 [texte intégral]
- C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson, « The C1-generic diffeomorphism has trivial centralizer », dans Publ. Math. IHES, vol. 109, 2009, p. 185-244
- Warwick Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », dans Foundations of Computational Mathematics, vol. 2, no 1, 2002, p. 53-117 [texte intégral, lien DOI]
- Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo, « On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer », dans Foundations of Computational Mathematics, vol. 8, no 1, 2008, p. 1-43 [texte intégral, lien DOI]
- Felipe Cucker, Peter Bürgisser, « Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem », dans Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing, 2010 [texte intégral]
Sources
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Smale's problems » (voir la liste des auteurs)
- (en) Eric W. Weisstein, « Smale's Problems », MathWorld
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