Septieme probleme de Hilbert
- Septieme probleme de Hilbert
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Septième problème de Hilbert
Le septième problème de Hilbert concerne l'irrationalité et la transcendance de certains nombres (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Dans sa formulation géométrique, il demande quand l'assertion suivante est démontrable :
- Dans un triangle isocèle, si le rapport de l'angle de la base à l'angle du sommet est algébrique mais non rationnel, alors le rapport entre la base et le côté est toujours transcendant.
Un cas particulier de ce problème demande :
est-il un transcendant, pour 
et 
algébrique et b algébrique irrationnel ?
Lorsque b est rationnel, sera algébrique.
Le problème particulier fut résolu par Aleksandr Gelfond en 1934, et raffiné par Theodor Schneider en 1935. Ils ont démontré que est transcendant lorsque b est algébrique et irrationnel. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Gelfond ou de Gelfond-Schneider.
À partir du point de vue des généralisations, ceci est le cas
de la forme linéaire générale en logarithmes.
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2010.
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