Résolutions des équations de second degré

Résolutions des équations de second degré

Équation du second degré

En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante :

ax^2 + bx + c = 0\;

les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La lettre x désigne l'inconnue. Le terme de second degré provient du fait que le polynôme définissant l'équation est du second degré.

Deux identités remarquables permettent de trouver les éventuelles solutions. Il en existe entre zéro et deux (éventuellement confondues), si les solutions recherchées sont des nombres réels. Le calcul du discriminant permet de connaître le nombre exact de solutions et offre une méthode synthétique de résolution.

Dans le cas où les solutions recherchées sont des nombres complexes, il existe toujours deux solutions, elles peuvent néanmoins être confondues.

Sommaire

Éléments clé

Introduction par l'exemple

On recherche les éventuelles solutions de l'équation suivante[1] :

x^2-x-1=0\;

Le terme de gauche est appelé trinôme du second degré[2]. Il est composé de trois termes, tous de la même forme : un nombre non nul que multiplie une puissance entière de x. Chaque terme est appelé monôme et, comme il en existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est deux, pour cette raison, on parle de second degré. L'expression 0.x2 + x + 1 n'est pas un trinôme, car l'un des nombres est nul. L'expression s'écrit encore x + 1, on parle de binôme du premier degré[Note 1].

La méthode consiste à forcer l'apparition d'une première identité remarquable. On écrit le polynôme de la manière suivante :

x^2-x-1 = x^2 - 2\cdot \frac 12\cdot x + \frac 14 - \frac 14 - 1

Les trois premiers termes sont ceux d'une somme remarquable. L'application d'une identité remarquable permet d'écrire le polynôme de la manière suivante :

x^2-x-1 = \left(x - \frac 12\right)^2 - \frac 54

Un peu d'imagination permet d'appliquer une deuxième identité remarquable :

x^2-x-1 = \left(x - \frac 12\right)^2 - \left(\frac {\sqrt5}2\right)^2 = \left(x - \frac 12+ \frac {\sqrt5}2\right)\left(x - \frac 12- \frac {\sqrt5}2\right)

L'équation initiale s'exprime alors sous forme d'un produit de deux facteurs :

\left(x - \frac 12+ \frac {\sqrt5}2\right)\left(x - \frac 12- \frac {\sqrt5}2\right)=0

Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul[Note 2]. Cette remarque permet de trouver les deux solutions x1 et x2 :

x_1 = \frac {1 + \sqrt 5}2,\quad x_2 = \frac {1 - \sqrt 5}2

Cette équation n'admet qu'une unique racine positive x1, cette valeur est appelée nombre d'or. Il est aussi possible de résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d'algèbre, le paragraphe Méthode géométrique montre comment s'y prendre.

Discriminant

Article détaillé : Discriminant.

On considère l'équation suivante, où a, b et c désignent des nombres réels et a est différent de 0 :

ax^2 + bx + c = 0\;

On dispose de la définition suivante[3]:

Définition du discriminant —  Le discriminant de l'équation est la valeur Δ définie par :

\Delta = b^2 - 4ac \;

Cette définition est la source du théorème associé à la résolution de l'équation du second degré, dans le cas où l'on recherche des solutions réelles[4]:

Résolution de l'équation —  Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}

Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double :

ax^2 + bx + c =a\left(x + \frac b{2a}\right)^2 \quad \text{et}\quad x_1=x_2 = -\frac b{2a}\;

Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Interprétation graphique

Article détaillé : Fonction du second degré.
Le signe du discriminant apporte une information sur le graphe de la fonction f.

Une manière d'étudier l'équation du paragraphe précédent est de considérer la fonction f de la variable réelle et à valeurs réelles définie par :

f(x) = ax^2 + bx + c\;

L'équation peut encore s'écrire f(x) = 0. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection du graphe de la fonction f et de l'axe des x. Le graphe de la fonction f est appelé une parabole, elle possède une forme analogue à celle des trois exemples présentés à droite. Si a est positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, comme pour les exemples jaunes ou bleus, sinon les branches sont dirigées vers le bas, comme l'exemple rouge.

Si le discriminant est strictement positif, comme pour l'exemple bleu, cela signifie que le graphe de f croise l'axe des abscisses en deux points. Si le discriminant est nul, la configuration est celle de la parabole rouge, le graphe se situe soit dans le demi-plan des ordonnées positives soit dans le demi-plan des ordonnées négatives et son unique extremum est sur l'axe des abscisses. Dans le cas d'un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se situe encore dans l'un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l'extremum ne rencontre pas l'axe des abscisses.

Ainsi, si le discriminant est strictement positif, le signe des valeurs que prend la fonction f entre les solutions est l'opposé du signe des valeurs prises par f à l'extérieur du segment d'extrémités les solutions de l'équation[5].

Résolution

Forme canonique

En vue de résoudre l'équation f(x) = 0, où f est la fonction du paragraphe précédent, une méthode consiste à l'écrire sous une forme plus adaptée. Comme la valeur a n'est pas nulle, il est déjà possible de la factoriser :

f(x)=ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac ba x + \frac ca\right)

La méthode utilisée pour la résolution du premier exemple s'applique encore. elle revient à forcer l'apparition d'une identité remarquable :

f(x) = a\left(x^2 + 2\frac b{2a} x + \frac {b^2}{4a^2} - \frac {b^2}{4a^2} + \frac ca\right) = a\left(\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a^2}\right)

Cette forme est à l'origine d'une propriété et d'une définition[6]:

Définition de la forme canonique —  L'équation du second degré peut s'écrire sous la forme suivante, dite canonique, si Δ désigne le discriminant[6] :

f(x)=a\big((x -\alpha)^2 + \beta\big) = 0 \quad\text{avec}\quad \alpha = -\frac b{2a},\; \beta = \frac {f(\alpha)}a = -\frac {\Delta}{4a^2}

Exemples

Considérons l'équation suivante[7] :

f(x) = 0 \quad\text{avec}\quad f(x) = x^2 - 4x + 4

Deux méthodes permettent de trouver l'expression de la forme canonique. Tout d'abord, f est définie par une identité remarquable, on en déduit :

f(x) = (x-2)^2\;

Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici a = 1, b = -4 et c = 4. On en déduit que le discriminant Δ est nul et que le coefficient α est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent.

Considérons maintenant le nouvel exemple[7]:

f(x) = 0 \quad\text{avec}\quad f(x) = 2x^2 - 6x + 1

Si l'égalité définissant f(x) n'est plus une identité remarquable, la deuxième méthode est toujours efficace. On a a = 2, b = -6 et c = 1. Ce qui permet d'effectuer les calculs suivants :

\alpha = -\frac b{2a} = \frac 64 = \frac 32,\quad a\beta = f(\alpha) = f\left(\frac 32\right) =2\cdot \frac 94 - 6\frac 32 + 1 = \frac 92 - \frac {18}2 + \frac 22 = -\frac 72

On en déduit la forme canonique :

f(x) = 2\left( \left(x - \frac 32\right)^2 - \frac 74\right)

Résolution de l'équation

Sous sa forme canonique, la résolution de l'équation est aisée.

Discriminant strictement négatif

Si le discriminant est strictement négatif, la valeur β est strictement positive. La fonction f s'exprime comme le produit de a et de la somme d'un terme positif (x - α)2 et d'un terme strictement positif β. On en déduit que quelle que soit la valeur de x son image par f n'est jamais nulle, car produit de deux facteurs non nuls, ce qui montre l'impossibilité de l'existence d'une solution.

Discriminant nul

Si le discriminant est nul, le terme β l'est aussi et f(x) = a.(x - α)2. Cette expression est nulle si, et seulement si x est égal à α. Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe.

Discriminant strictement positif

Si le déterminant est strictement positif, en simplifiant par a, l'équation s'écrit encore, si δ désigne la racine carrée du discriminant :

(x-\alpha)^2 - \left(\frac {\delta}{2a}\right)^2 = 0\quad\text{avec}\quad \delta = \sqrt{b^2 - 4ac}

On reconnait une identité remarquable et l'équation s'écrit encore :

\left(x -\alpha + \frac {\delta}{2a}\right)\left(x -\alpha - \frac {\delta}{2a}\right)=0

Un produit de deux nombres réels est nul si, et seulement si, l'un des deux facteurs du produit est nul, on en déduit que l'équation est équivalente à l'une des deux équations :

x-\alpha - \frac {\delta}{2a}=0 \quad\text{ou}\quad x -\alpha + \frac {\delta}{2a}=0

En remplaçant α et δ par leur valeur, on retrouve bien l'expression déjà indiquée des deux solutions.

Propriétés

Forme réduite

Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :

(x+2)^3-(x-1)^3 = 0\;

Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités remarquables :

(x+2)^3-(x-1)^3 =x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - (x^3 - 3x^2 + 3x -1) = 9x^2 + 9x + 9 = 0\;

En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : x2 + x + 1 = 0. Le discriminant est égal à -3, l'équation n'admet pas de racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom[7].

Définition de la forme réduite — La forme réduite d'une équation du second degré réelle, est la suivante, si a, b et c sont trois nombres réels tels que a soit différent de 0.

ax^2 + bx + c = 0\;

Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :

a(x - x_1)(x - x_2) = 0\;

Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à x1 et x2.

Relations entre coefficients et racines

Article détaillé : Relations entre coefficients et racines.

Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles soient distinctes ou doubles[8], on dispose de deux manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on obtient si x1 et x2 sont les deux racines:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\;

Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :

a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 -ax(x_1 + x_2) +ax_1x_2 = ax^2 + bx + c\;

Cela permet d'obtenir des relations entre les coefficients de l'équation et les solutions de l'équation[9].

Relations entre coefficients et racines —  On dispose des deux relations suivantes :

x_1 + x_2 = -\frac ba \quad \text{et}\quad x_1x_2 = \frac ca
Démonstration de la somme


Soit Δ le discriminant de l'équation ax2 + bx + c, et x1 et x2 les deux solutions non-nuls de cette équation :

x_1 + x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b - \sqrt{\Delta} + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}

 
Démonstration du produit


Soit Δ le discriminant de l'équation ax2 + bx + c, et x1 et x2 les deux solutions non-nuls de cette équation :

x_1 \times x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b-\sqrt{\Delta}) \times (-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}

D'après l'identité remarquable : (a - b)\times(a + b) = a^2 - b^2

x_1 \times x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 -(- 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

 

Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est l'objet de l'article détaillé.

Discriminant réduit

Parfois, les coefficients a, b et c sont des nombres entiers et b est pair. Dans ce cas, un facteur 2 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. Si on définit b' comme l'entier vérifiant l'égalité b = 2.b' , on simplifie les calculs :

Définition du discriminant réduit[10] — Le discriminant réduit est la valeur Δ' définie par :

\Delta' = b'^2 -ac\,

Le discriminant réduit est égal à quatre fois le discriminant, il est de même signe que le discriminant. En conséquence, si le discriminant réduit est strictement positif, il existe deux solutions distinctes, s'il est nul les deux solutions sont confondues et s'il est strictement négatif aucune solution réelle n'existe. Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines x1 et x2 s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités :

x_1 = \frac {-b' + \sqrt {\Delta'}}a\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \sqrt {\Delta'}}a

Le calcul présenté ici est vrai, indépendamment du fait que a, b et c soient entiers. Si l'expression de b' est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant.

Considérons l'équation suivante :

\sqrt 5 x^2 - 6x + \sqrt 5 = 0

Le discriminant réduit est un peu plus simple à calculer que le discriminant, il est égal à 9 - (√5)2 ou encore à 4. On trouve, avec les formules précédentes :

x_1 = \frac {3 + 2}{\sqrt 5} = \sqrt 5 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac {3 - 2}{\sqrt 5} = \frac {\sqrt 5}5

Gain de précision

Lorsque Δ > 0, le calcul de \dfrac{-b + \varepsilon\sqrt{\Delta}}{2a} où ε est du signe de b, conduit à calculer la différence des deux nombres \scriptstyle \sqrt{\Delta} et | b | . Si ce calcul est fait numériquement, par une méthode de virgule flottante sur un ordinateur par exemple, cela entraîne une perte de précision, surtout lorsque \scriptstyle \sqrt{\Delta} est très proche de | b | , c'est-à-dire quand 4ac est petit par rapport à b2. On parle alors d'algorithme de calcul numériquement instable.

Il est alors préférable de calculer la racine x_1=\dfrac{-b - \varepsilon\sqrt{\Delta}}{2a}, proche de -b/a, et d'utiliser la propriété sur le produit des racines pour déterminer l'autre racine à l'aide de l'égalité x_2=\frac c{ax_1} [11].

Ce nouvel algorithme est dit numériquement stable, car aucune erreur n'est amplifiée par une des étapes du calcul.

Autres méthodes de résolution

Racines évidentes

Les relations entre les coefficients et racines permettent parfois une accélération dans la résolution. Considérons l'équation précédente, le terme √5 joue un rôle singulier. Il est tentant de calculer son image par le polynôme définissant l'équation. Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur au hasard et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée racine évidente.

Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Dans l'exemple proposé, le plus simple est de remarquer que le produit des racines, égal à c/a est ici égal à 1. La deuxième racine est donc 1/√5, ce que l'on écrit plutôt √5/5.

La méthode de la racine évidente permet de résoudre plus simplement une équation de degré plus élevé, comme l'exemple suivant[12] :

x^3 - 5x - 2 = 0\;

Plusieurs méthodes sont possibles pour en venir à bout. Celle de Cardan possède l'avantage d'être sûr, mais demande une maîtrise des nombres complexes et impose de longs calculs. La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. On tente traditionnellement les valeurs 0, ±1 et ±2. Dans le cas présent, -2 est une racine. Cela signifie que le polynôme x + 2 divise celui définissant l'équation. Trouver le deuxième facteur n'est pas trop ardu. C'est un polynôme du second degré, car seul un polynôme du second degré, multiplié par (x + 2) est du troisième degré. Si a.x2 + b.x + c est le deuxième facteur, on calcule le produit :

(x + 2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (2a + b)x^2 + (2b+c)x + 2c = x^3 -5x - 2\;

On en déduit a = 1, c = -1 puis b = -2. Il reste encore à résoudre l'équation :

x^2 - 2x - 1 = 0\;

Pour une rédaction plus concise, on peut toujours prétendre que 1 + √2 est une racine évidente. Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1 - √2.

Méthode géométrique

Article détaillé : Algèbre géométrique.
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Les premières méthodes pour résoudre une équation du second degré sont géométriques. Même sans connaître les rudiments d'algèbre, il est possible de résoudre des équations du second degré. Les Grecs utilisaient la méthode suivante[13], pour résoudre ce qu'en langage contemporain on formaliserait par l'équation :

x^2 + 10x = 39\;

On considère que les deux termes, de droite et de gauche désignent des surfaces. Le terme x2 désigne l'aire d'un carré de côté x et 10.x désigne l'aire de deux rectangles de côtés 5 et x. On organise le carré et les deux rectangles de la manière indiquée sur la figure de droite, les deux rectangles sont dessinés en gris et le carré correspond au plus petit des deux et contenant le symbole x2 en son milieu.

Cette surface, que l'on appelle un gnomon prend la forme d'un carré si l'on y ajoute un nouveau carré de côté 5, car on obtient alors un carré plus vaste, contenant à la fois les deux rectangles et le carré de côté x. Le carré de côté x et les deux rectangles possèdent une aire de 39, on a ajouté un carré d'aire 25, on obtient un grand carré d'aire 64. En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit :

x^2 + 10x + 25 = 64\;

Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. Or ce côté est, par construction égal à 5 + x. En termes algébriques, cela revient à appliquer une identité remarquable, on obtient :

(x + 5)^2 = 64\;

On en déduit la solution x = 3. L'algèbre propose aussi une autre solution : -13. Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens, x représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. Or une longueur est toujours positive.

D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles Inconnue (mathématiques) et Nombre d'or.

Par les relations entre coefficients et racines

Une autre méthode, à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, permet de trouver les solutions. On suppose que l'équation admet un discriminant positif et on note s la somme des solutions et p leur produit. En divisant l'équation par le facteur a, qui n'est pas nul par définition, on obtient l'expression :

x^2 - sx + p=0\;

Soit m la valeur moyenne des deux solutions, c'est-à-dire l'abscisse de l'extremum de la parabole. Si h est la demi-distance entre les solutions et si x1 et x2 désignent les deux racines, on obtient les égalités :

x_1 = m + h \quad\text{et}\quad x_2 = m -h

La somme des deux racines est égale à s et aussi à 2.m, ce qui donne la valeur de m = s/2. Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que m2 - h2 = p. Une autre manière d'écrire cette égalité est h2 = m2 - p. Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. On obtient les valeurs des racines :

x_1 = \frac {s + \sqrt{s^2 - 4p}}2 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac {s - \sqrt{s^2 - 4p}}2

En remplaçant s et p par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.

Nombre complexe

Lorsque le discriminant de l'équation du second degré est négatif, celle-ci ne possède pas de solution dans l'ensemble des réels, car il n'est pas possible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Mais dans un ensemble spécialement construit à cet effet[14], l'ensemble des nombres complexes, il existe des nombres dont le carré est négatif. L'équation du second degré y admet alors des solutions. La question se pose ensuite de savoir si les équations du second degré dont les coefficients sont complexes admettent elles aussi des solutions et sous quelle forme.

Exemple

Article détaillé : Nombre complexe.

Considérons l'équation suivante :

x^2 + x + 1 = 0\;

Sous sa forme canonique, l'équation s'écrit :

x^2 + 2\frac 12 x + \frac 14 + \frac 34 = \left(x+\frac 12\right)^2 + \left(\frac {\sqrt3}2\right)^2 = 0

La partie gauche de l'équation est la somme de deux carrés, dont l'un est strictement positif, il ne peut donc exister de solution dans les nombres réels. Une autre manière d'en prendre conscience est de calculer le discriminant, ici égal à -3.

Si i désigne l'unité imaginaire, il est possible d'écrire 3/4 comme l'opposé d'un carré, cet usage lève l'impossibilité, l'équation s'écrit :

\left(x+\frac 12\right)^2 - \left(\frac {i\sqrt 3}2\right)^2 = 0

Les identités remarquables s'appliquent tout autant dans C, l'ensemble des nombres complexes, que dans R celui des nombres réels. On en déduit une nouvelle écriture de l'équation, car la différence entre deux carrés est factorisable :

\left(x + \frac 12 + \frac {i\sqrt 3}2\right)\left(x + \frac 12 - \frac {i\sqrt 3}2\right) = 0

Ce qui permet d'en déduire les deux solutions :

x_1 = \frac {-1 + i\sqrt 3}2\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-1 - i\sqrt 3}2

Les deux solutions sont dites conjugués c'est-à-dire que leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires opposées. Cette propriété est toujours vraie dans le cas d'une équation quadratique à coefficients réels.

Coefficients réels et discriminant strictement négatif

La méthode utilisée pour l'exemple s'applique de la même manière pour le cas général, si les coefficients sont réels et le discriminant strictement négatif. L'équation s'écrit sous sa forme canonique :

a\left(\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \left(\frac {i|\Delta|}{2a}\right)^2\right)=0

Les symboles |Δ| désignent la valeur absolue du discriminant. On obtient le résultat suivant :

Coefficients réels et discriminant négatif[15] —  Si le discriminant est strictement négatif, l'équation admet deux solutions conjuguées x1 et x2, qui s'écrivent :

x_1 = \frac {-b +i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-b -i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

Équation z2 = α

Traiter le cas général d'une équation du second degré à coefficients complexes demande l'extraction d'une racine. Cela revient à résoudre le cas particulier d'une équation de la forme z2 = α où α est un nombre complexe, ou encore à trouver une valeur β tel que β2 = α. On note z = x + iy, α = a + ib et |α| désigne le module de α. L'équation s'écrit encore :

z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) +i2xy = a+ib\quad\text{et}\quad x^2 - y^2 = a,\; 2xy = b\;

Le carré du module de z est égal au module de α, on en déduit :

x^2 - y^2 = a,\; x^2 + y^2 = |\alpha| =\sqrt {a^2 + b^2}\quad\text{donc}\quad x = \pm \sqrt {\frac 12(a + \sqrt {a^2 + b^2})},\quad y = \pm \sqrt {\frac 12(-a + \sqrt {a^2 + b^2})}

L'égalité 2xy = b montre que les seules racines de l'équation sont les valeurs β1 et β2 définies par, si ε désigne le signe de b.

\beta_1 = \sqrt {\frac 12(a + \sqrt {a^2 + b^2})} + \varepsilon i \sqrt {\frac 12(-a+\sqrt {a^2 + b^2})},\quad \beta_2 = - \beta_1

Un rapide calcul montre que ces deux valeurs vérifient bien β2 = α..

Cas général

On suppose maintenant que a, b et c sont trois nombres complexes tels que a est soit non nul. Il est toujours possible d'écrire l'équation de l'article sous la forme canonique, car les transformations utilisées sont tout aussi valables sur les nombres complexes. En simplifiant par a, l'équation est équivalente à :

\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \frac {\Delta}{4a^2} = 0\quad\text{avec}\quad \Delta = b^2 - 4ac

Soit δ une racine carrée du discriminant, le premier paragraphe montre qu'une telle valeur existe toujours. L'équation s'écrit encore :

\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \left(\frac {\delta}{2a}\right)^2 = 0\quad\text{avec}\quad \delta^2 = \Delta

L'identité remarquable traitant de la différence de deux carrés permet encore d'écrire dans l'ensemble des nombres complexes :

\left(x + \frac b{2a} + \frac {\delta}{2a}\right)\left(x + \frac b{2a} - \frac {\delta}{2a}\right) = 0

Ce qui permet d'énoncer le résultat :

Cas des coefficients complexes — Une équation du second degré à coefficients dans les nombres complexes admet deux solutions x1 et x2. Si le discriminant est nul, les deux solutions sont confondues. Dans le cas général, les solutions s'écrivent :

x_1 = \frac {-b + \delta}{2a},\;x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}\quad\text{avec}\quad \delta^2 = \Delta = b^2 -4ac

Remarque : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.

Historique

Les problèmes du second degré se posaient chez les Babyloniens (on cherchait alors une solution positive à l'aide d'un algorithme : voyez les explications à propos de la tablette Plimpton 322), chez les Égyptiens, voire chez les Grecs (Livre II des Éléments d'Euclide), mais aucune civilisation de cette époque n'a explicitement étudié les équations.

Les équations du second degré ont été les premières équations résolues, l'équation mathématique est inventée en même temps que l'algèbre par le savant iranien musulman Al-Khwarizmi au IXe siècle, qui reprit cette tradition, augmentée des connaissances grecques pour la démonstration, afin de trouver une solution (réelle et positive). Les équations étaient présentées sous l'une des formes suivantes parce qu'un nombre était supposé positif :

ax^2 = bx + c\;

ax^2 + bx = c\;

ax^2 + c = bx\;

La résolution utilise des méthodes simples comme le théorème de Pythagore, essentiellement fondées sur la géométrie du triangle et du carré. Elle est explicitée dans l'article algèbre géométrique.

Annexes

Bibliographie

  • (fr) J. Merker Du trinôme du second degré à la théorie de Galois Presses universitaires de Franche-Comté (2007) (ISBN 2848672056)

Liens externes

Notes

  1. ↑ L'équation qu'il définit n'est pas l'objet de cet article mais de celui intitulé Équation du premier degré.
  2. ↑ voir l'article Équation produit-nul

Références

  1. ↑ Cet exemple est présenté dans : le nombre d'or avec GéoPlan par P. Debart de l'Académie d'Aix Marseille
  2. ↑ V. & F. Bayart Étude du trinôme du second degré par le site bibmath.net
  3. ↑ On trouve cette définition dans le site : Discriminant par Euler, un site de l'Académie de Versaille
  4. ↑ Équation du second degré dans R par Euler, un site de l'Académie de Versaille
  5. ↑ Ce paragraphe est explicité dans le site : Signe d'une fonction trinôme du second degré par Euler, un site de l'Académie de Versailles
  6. ↑ a  et b  C. Rossignol Polynômes du second degré sur le site de l'académie de Grenoble p 2 (2008)
  7. ↑ a , b  et c  Cet exemple s'inspire du site : C. Rossignol Polynômes du second degré sur le site de l'académie de Grenoble p 2 (2008)
  8. ↑ Si une unique racine existe et vaut α on dit néanmoins qu'il existe deux racines x1 = x2 = α. On parle alors de racine double. Cette convention possède plusieurs intérêts, entre autres celui d'éviter un cas particulier, par exemple dans le contexte de ce paragraphe.
  9. ↑ M. Poullaouec Les polynômes du second degré du Lycée Jean-Pierre Vernant
  10. ↑ V. & F. Bayart Étude du trinôme du second degré par le site Bibmath.net
  11. ↑ Michel Pignat, Jean Vignès, Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur.
  12. ↑ Il provient d'un exercice de terminale : P. Amposta Gamme par le site mathématiques au lycée
  13. ↑ Pour plus de détails, voir : Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. « Points Sciences », 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] p 62
  14. ↑ Dominique Flament, Histoire des nombres complexes
  15. ↑ G. Constantini Nombres complexes Cours de Terminale S

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