Règle de raabe-duhamel

Règle de Raabe-Duhamel

En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est une technique permettant d'établir la convergence d'une série. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Règle de Raabe-Duhamel — Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de nombres réels à termes strictement positifs telle que

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right);$

avec $\alpha \in \R$ , alors

si $α < 1$ , la série de terme général $(u_n)_{n \in \N}$ diverge,
si $α > 1$ , la série de terme général $(u_n)_{n \in \N}$ converge,
si $α = 1$ , on ne peut conclure.

Démonstration

Notons

$\beta=\frac{\alpha+1}{2},\quad \gamma=\frac{\alpha+\beta}{2};$

$\forall n \in \N^*,\quad v_n=\frac{1}{n^\beta}.$

On a

$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-\beta}=1-\frac{\beta}{n}+o \left( \frac{1}{n} \right).$

Supposons $α > 1$ . Comme $1 < β < γ < α$ , au delà d'un certain rang $N$ on a

$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1- \frac{\gamma}{n} \leq \frac{v_{n+1}}{v_n}.$

On a donc tout une liste de majoration

$\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \frac{v_{n+1}}{v_n};\quad \frac{u_n}{u_{n-1}} \leq \frac{v_n}{v_{n-1}};\quad \ldots \quad; \quad \frac{u_{N+1}}{u_N} \leq \frac{v_{N+1}}{v_N}.$

Et donc par multiplication, on obtient $:u_n \leq \frac{u_N}{v_N} v_n;$ par comparaison, la convergence de $\sum v_n$ entraîne bien celle de $\sum u_n$ .

Or $β > 1$ , donc l'exemple de la série de Riemann montre que $\sum v_n$ converge, et donc $\sum u_n$ converge.

Le cas $α < 1$ se traite de manière analogue.

Ce théorème est un complément à la règle de d'Alembert pour séries à termes réels positifs et permet donc de le préciser.

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