Regle de d'Alembert

Regle de d'Alembert

Règle de d'Alembert

La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet dans certains cas d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels ou au contraire sa divergence.

Énoncé simplifié

Soit (x_n)\, une suite de réels non nuls. On suppose que la limite suivante existe :

p=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}\frac{|x_n|}{|x_{n+1}|}=\lim_{n \to +\infty}\frac{|x_{n+1}|}{|x_n|}
  • si p est strictement inférieur à 1 alors la suite (x_n) \, converge vers zéro et même la série de terme général (x_n) \, est convergente.
  • si p est strictement supérieur à 1, alors la suite ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
  • si p vaut 1, on ne peut pas conclure : c'est le cas douteux de la règle de d'Alembert
On peut alors essayer une règle plus précise, la règle de Raabe-Duhamel.

La règle de d'Alembert peut être employée pour prouver la convergence absolue d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E. Notamment, si E est complet (par exemple si E= \C ), la série est convergente.

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