Règle de Raabe-Duhamel

Règle de Raabe-Duhamel

En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est une technique permettant d'établir la convergence d'une série. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Règle de Raabe-Duhamel — Soit (u_n)_{n \in \N} une suite de nombres réels à termes strictement positifs telle que

\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right);

avec \alpha \in \R, alors

  • si α < 1, la série de terme général (u_n)_{n \in \N} diverge,
  • si α > 1, la série de terme général (u_n)_{n \in \N} converge,
  • si α = 1, on ne peut conclure.
Démonstration

Notons

\beta=\frac{\alpha+1}{2},\quad \gamma=\frac{\alpha+\beta}{2};

et

\forall n \in \N^*,\quad v_n=\frac{1}{n^\beta}.

On a

\frac{v_{n+1}}{v_n}=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-\beta}=1-\frac{\beta}{n}+o \left( \frac{1}{n} \right).

Supposons α > 1. Comme 1 < β < γ < α, au delà d'un certain rang N on a

\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1- \frac{\gamma}{n} \leq \frac{v_{n+1}}{v_n}.

On a donc tout une liste de majoration

\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \frac{v_{n+1}}{v_n};\quad \frac{u_n}{u_{n-1}} \leq \frac{v_n}{v_{n-1}};\quad \ldots \quad; \quad \frac{u_{N+1}}{u_N} \leq \frac{v_{N+1}}{v_N}.

Et donc par multiplication, on obtient :u_n \leq \frac{u_N}{v_N} v_n; par comparaison, la convergence de \sum v_n entraîne bien celle de \sum u_n.

Or β > 1, donc l'exemple de la série de Riemann montre que \sum v_n converge, et donc \sum u_n converge.

Le cas α < 1 se traite de manière analogue.

Ce théorème est un complément à la règle de d'Alembert pour séries à termes réels positifs et permet donc de la préciser.


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