Règle de d'Alembert

Règle de d'Alembert

La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet dans certains cas d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels ou au contraire sa divergence.

Énoncé simplifié

Soit (x_n)\, une suite de réels non nuls. On suppose que la limite suivante existe :

l=\lim_{n \to +\infty}\frac{|x_{n+1}|}{|x_n|}
  • si l est strictement inférieur à 1 alors la suite (x_n) \, converge vers zéro et même la série de terme général (x_n) \, converge absolument.
  • si l est strictement supérieur à 1, alors la suite ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
  • si l vaut 1, on ne peut pas conclure : c'est le cas douteux de la règle de d'Alembert
On peut alors essayer une règle plus précise, la règle de Raabe-Duhamel.

La règle de d'Alembert peut être employée pour prouver la convergence absolue d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E. Il s'agit en effet d'étudier la série des normes, réels positifs. Notamment, si E est complet (par exemple si E= \C ), la série est convergente.

Démonstration dans le cas réel

Soit (an) une suite réelle à termes strictement positifs telle que \lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l \ge 0.

Si l < 1, il existe k tel que l < k < 1, et N entier naturel tel que pour n > N : a_n<k\ a_{n-1}<k^{n-N} a_N, donc la série \sum a_{n+N} converge, d'où le résultat pour \sum a_n.


Si l > 1, il existe k tel que 1 < k < l, et N entier naturel tel que pour n > N : a_n>k\ a_{n-1}>k^{n-N} a_N, donc la suite ne tend pas vers 0.

NB : Une autre démonstration existe dans le cas où \scriptstyle l\neq 0 en passant au logarithme et en utilisant le lemme de Cesàro.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Règle de d'Alembert de Wikipédia en français (auteurs)

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