- Propriété locale
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On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée en un point d'un espace topologique s'il existe un système fondamental de voisinages de ce point sur lequel la propriété est vraie.
On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée si elle est localement vérifiée en tout point de l'espace topologique considéré.
Cette notion se retrouve dans tous les domaines des mathématiques qui utilisent la topologie, en particulier en analyse.
Souvent, il suffit que la propriété soit vraie pour un voisinage du point pour qu'elle soit vraie localement en ce point, par exemple :
- On dit qu'une fonction
définie sur un espace topologique 
admet en un point 
de un maximum local s'il existe un voisinage 
de tel que 
soit la plus grande valeur de 
sur . - On dit qu'un espace topologique est localement compact s'il est séparé et si chacun de ses points possède un voisinage compact.
Cependant, c'est faux en général, par exemple :
- On ne peut pas dire que la fonction
est localement non bornée au point 
sous prétexte qu'elle est non bornée sur ![\ ]0,2[](d/dedacbd3e00ecbfbe606bd1bad76424f.png)
(qui est un voisinage du point considéré). - Il existe des espaces connexes qui ne sont pas localement connexes en un point, on peut par exemple prendre l'adhérence du graphe de
, dans 
, et le point 
. Pourtant, l'espace tout entier est un voisinage connexe de ce point.
Voir aussi
- On dit qu'une fonction
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