Moment d'une force

Moment de force (mécanique)

Pour les articles homonymes, voir Moment.

Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nomme pivot.

Sommaire

1 Translation d'une force
2 En dynamique
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Lien externe

Translation d'une force

Basculera, basculera pas ?

Soit une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même, on peut au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de bascule.

Le « pouvoir de basculement » dépend donc de l'intensité de la force, mais également de la position relative du point d'application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel considéré.

On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d'une force, qui est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera pivot.

Moment par rapport à un point

Définition vectorielle

Expression vectorielle

Le moment d'une force $\scriptstyle\vec F$ s'exerçant au point $A$ par rapport au pivot $P$ , est le pseudovecteur :

$\vec{M}_{\vec{F}/P} = \vec{PA} \wedge \vec{F} = \vec{F}\wedge\vec{AP}$ .

où $\wedge$ désigne le produit vectoriel.

Remarque sur la notation: Il existe plusieurs variantes de notation des moments de force ; certaines (comme sur l'image ci-contre) comportent des parenthèses autour du vecteur, parfois autour de l'ensemble. D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de nullité de moments.

Ce pseudovecteur est à la fois orthogonal à $\scriptstyle\vec F$ et au bipoint $\scriptstyle\vec{AP}$ et finalement normal au plan dans lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la rotation est positive dans le plan orienté par $\scriptstyle\vec{M}_{\vec{F}/\Delta}$ ).

Si $d$ est la distance orthogonale du pivot $P$ à la droite d'action, c’est-à-dire $P H$ , alors sa norme vaut :

$\bigl\|\vec{M}_{\vec{F}/P}\bigr\| = \bigl\|\vec{F}\bigr\| \cdot d$ .

La longueur $d$ est appelée bras de levier. Dans le cas bidimensionnel, il est fréquent de considérer la norme du moment comme le moment lui-même, celui-ci ne comportant qu'une composante non nulle.

Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités et leurs dimensions sont $M L 2 T - 2$ .

Cas de nullité du moment

Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :

la force est nulle ;
le bipoint $\scriptstyle\vec{AP}$ est $\scriptstyle\vec{O}$ . La force est donc appliquée en $P$ .
$\scriptstyle\vec{F}$ et $\scriptstyle\vec{AP}$ sont colinéaires ; alors la droite d'action passe par $P$ , ce qui inclut aussi le cas précédent.

Formule de Varignon

Lorsqu'on connaît le moment d'une force en un point, il est possible de le recalculer en n'importe quel point de l'espace. Cette opération est inévitable lorsqu'on manipule les torseurs d'actions mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier $A P$ . On montre alors la relation suivante :

$\vec{M}_{\vec{F}/Q} = \vec{M}_{\vec{F}/P}+\vec{QP} \wedge \vec{F}$ .

On peut vérifier alors :

$\vec{M}_{\vec{F}/P} = \vec{M}_{\vec{F}/A}+\vec{PA} \wedge \vec{F}= \vec{PA} \wedge \vec{F}$ .

En réalité une force est modélisée par un vecteur (représentant la force) et son point d'application. Il est possible de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique. La relation d'équilibre liée au principe fondamental de la statique devient une somme de torseurs ; en pratique, on effectuera parallèlement la somme des forces, et la somme des moments tous exprimés au même point, d'où l'intérêt de la formule de transport de moments.

Moment par rapport à un axe

Lorsqu'un solide est animé d'un mouvement de rotation effectif autour d'un axe (cas d'une roue guidée par un palier) il est intéressant de ne considérer que la part utile du moment d'une force. On définit le moment de la force par rapport à l'axe $(Δ)$ par

$M_{\vec{F}/\Delta} = \vec{M}_{\vec{F}/P} \cdot \vec{u} = \left(\vec{PA} \wedge \vec{F}\right) \cdot \vec u = \left[\vec{PA}, \vec F, \vec u\right]$ ,

où $\vec{u}$ est un vecteur unitaire de $(Δ)$ , $P$ est un point quelconque de $(Δ)$ et où les crochets dénotent le produit mixte.

En résumé il s'agit de la composante suivant $\vec{u}$ du moment de $\scriptstyle\vec{F}$ calculé en $P$ . De ce fait il s'agit d'un nombre scalaire : « $\cdot \vec{u}$ » est une opération de projection sur l'axe $\vec{u}$ . Sur le plan mécanique, c'est la seule composante (dans le cas d'une liaison parfaite au pivot) susceptible de fournir (ou consommer) une puissance. Le « reste » du moment sera subi par le palier. Cette partie complémentaire intéressera le technologue qui prendra en compte ces valeurs pour le dimensionnement du palier.

Le moment par rapport à l'axe est nul si

le moment par rapport au point est nul (cas général précédent).
la force est dans la direction de l'axe considéré.

Couple de forces

Si on considère deux forces opposées $\scriptstyle\vec{F}$ appliquée en $A$ et $\scriptstyle-\vec{F}$ appliquée en $B$ , points distincts d'un même système, il est évident que leur somme est nulle. Qu'en est-il de la somme de leur moment en un point $P$ de l'espace ?

$\begin{align} \vec{M}_{\vec{F}/P} + \vec{M}_{-\vec{F}/P} &= \vec{PA} \wedge \vec{F} + \vec{PB} \wedge(- \vec{F}) \\ &= \vec{PA} \wedge \vec{F} + \vec{BP} \wedge\vec{F} \\ &= \left(\vec{PA} + \vec{BP}\right) \wedge \vec{F} \\ &= \vec{BA} \wedge \vec{F} &= \vec{C} \end{align}$ .

On remarque que le résultat est indépendant du point de pivot $P$ considéré. Cette quantité $\scriptstyle\vec C$ est appelée couple. Il n'est pas besoin de préciser le point de rotation. Les deux forces constituent alors un couple de forces.

Outre les autres cas évidents, le couple est nul lorsque les deux forces ont la même droite d'action. Le couple augmente avec l'intensité commune des forces, mais aussi avec l'éloignement des points. Il est maximal lorsque $\scriptstyle\vec{AB}$ et $\scriptstyle\vec{F}$ sont orthogonaux.

Cas général

En réalité le couple n'existe pas intrinsèquement. Il est toujours associé à un ensemble de forces s'annulant vectoriellement mais dont les moments s'ajoutent sans s'annuler. C'est par exemple le résultat de l'action du vent sur une éolienne, ou l'action des forces électromagnétiques sur l'induit d'un moteur électrique.

On ne doit donc pas faire le raccourci « somme des moments = moment de la somme ». Cela n'est vrai que pour un ensemble de forces appliquées au même point. Cela montre enfin qu'une action mécanique n'est pas représentable par un seul vecteur force. La considération du point d'application est primordiale.

Théorème de Varignon

Le moment en $P$ de la résultante $\scriptstyle\vec R$ de plusieurs forces $\scriptstyle\vec F_1, \vec F_2, \vec F_3,\ldots$ concourantes en $A$ est égal à la somme des moments en $P$ de ces différentes forces :

$\vec M_{\vec R/P} = \sum_i \vec M_{\vec F_i/P}$ ,

avec $\textstyle\vec R = \sum_i \vec F_i$ .

En effet :

$\vec M_{\vec R/P} = \vec{PA}\wedge\vec R = \vec{PA}\wedge\left(\sum_i \vec F_i\right) = \sum_i \vec{PA} \wedge \vec F_i = \sum_i \vec M_{\vec F_i/P}$

En dynamique

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment cinétique par rapport au temps :

$\vec{M}_{F/\Delta} = \frac{{\rm d}\vec L}{{\rm d}t}$

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) en rotation.

On peut aussi montrer que si $\vec{\omega}$ est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

colinéaire à l'axe de rotation $Δ$ ,
dont la norme est la vitesse angulaire
et orienté de façon que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de rotation, alors :

$\vec{L} = J_{\Delta} \cdot \vec{\omega}$

où $J Δ$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation $Δ$ .

Voir aussi

Lien externe

Une vidéo explicative sur la statique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

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