Principe de d'Alembert

Principe de D'Alembert

Le principe de d'Alembert est un principe énoncé en 1743 par Jean le Rond d'Alembert avant que Joseph-Louis Lagrange ne développe la mécanique analytique en l'utilisant.

Énoncé

On suppose que le système est caractérisé par un ensemble fini P de points matériels soumis à des contraintes (rigidités, limites du domaine d'évolution, articulations mécaniques, etc), mais sans frottement.

Définition d'un déplacement virtuel $\delta \vec r$ du système : c'est un déplacement instantané et infinitésimal des points de P, et respectant les contraintes physiques.

Les forces de contraintes sont les forces s'appliquant au corps, faisant qu'il respecte les contraintes physiques (force de réaction de la table sur laquelle est posé le corps, résistance de la rigidité aux forces extérieures,...).

Le principe de D'Alembert dit que l'ensemble des forces de contraintes appliquées à un système ne travaille pas (ne produit ni ne consomme d'énergie) lors d'un déplacement virtuel :

Si les forces de contraintes sont $\vec Z (x)$ pour chaque $x\in P$ , alors pour tout déplacement virtuel $\delta \vec r (x)$ du corps, on a :

$\sum_{x\in P} \vec Z (x) \cdot \delta \vec r (x) = 0$ ,

ce que l'on peut écrire

$\sum_{x\in P} \left( \vec F (x) - \dot \vec p (x) \right) \cdot \delta \vec r (x) = 0$

avec $\vec p (x)$ l'impulsion et $\vec F (x)$ la somme des forces (qui ne sont pas de contrainte) s'exerçant en $\ x \in P$ , et en utilisant le principe fondamental de la dynamique qui s'écrit $\textstyle m \vec a (x) = \dot \vec p (x) = \vec F (x) + \vec Z (x)$ .

En fait, ce principe postule que, par exemple, la table sur laquelle est posé l'objet est passive (n'oppose que des forces de réaction au corps) et ne va pas lui fournir une quelconque accélération.

Voir aussi

Bibliographie

Mécanique analytique par Rossen Dandoloff aux éditions Publibook, 2005. (ISBN 978-2-7483-0778-8)

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