Point-col

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Point col

Le point en rouge est un point col pour la fonction (ici la fonction z=x2−y2).

En mathématiques, un point col (en anglais saddle point) pour une fonction f de plusieurs variables à valeurs dans \R désigne un point en lequel les dérivées de la fonction s'annulent (un point critique), sans pour autant que le point soit un extremum local (minimum ou maximum) de la fonction.

Le nom point col vient de la représentation du graphe de la fonction f qui ressemble au col d'une chaîne montagneuse. Dans (au moins) une direction, le point col est un maximum (pour passer d'une vallée à l'autre) et dans (au moins) une autre direction, c'est un minimum (pour passer d'une montagne à l'autre). Ce n'est donc pas un extremum local car selon la direction prise, il existe des points pour lesquels la valeur de la fonction est supérieure ou inférieure à la valeur de la fonction au point col. L'exemple de la figure est le cas le plus simple de point col qui existe.

Le terme point selle est aussi usité (il fait référence à la forme de la selle de cheval). Il existe un type particulier de point col dit en selle de singe pour lequel il y a 3 versants en descente (où pour reprendre l'analogie de la selle : deux pans pour mettre les pattes du singe et un troisième pour la queue).

En une dimension, un point col est un point d'inflexion.

D'une manière plus générale, un point col pour une fonction est un point critique dans le voisinage duquel la courbe n'est pas d'un seul côté de l'hyper-plan tangent.

Utilisation de la hessienne

Une méthode pour déterminer si un point critique d'une fonction de deux variables à valeurs réelles F(x,y) est un point col, consiste à calculer la matrice hessienne en ce point. Si la hessienne a des valeurs propres de signes différents, alors le point est un point col.

Par exemple, la hessienne de la fonction f(x,y) = x2 − y2 au point critique (0,0) est la matrice

\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix}

qui a une valeur propre strictement positive (2), et une valeur propre strictement négative (-2). Par conséquent, (0,0) est un point col.

Ce critère ne donne pas de condition nécessaire : pour la fonction g(x,y) = x4 − y4, le point (0,0) est un point col mais la hessienne est la matrice nulle. Donc la hessienne n'a pas de valeur propre positive et négative.

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