Condition nécessaire et suffisante

Condition nécessaire et suffisante

Équivalence logique

En logique classique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies (resp. fausses), dans exactement les mêmes situations. On écrit

P \Leftrightarrow Q

Qui se lit :

« P est vraie si et seulement si Q est vraie »

« \Leftrightarrow » est le connecteur déquivalence dont la table de vérité est donnée ci-dessous :

P Q PQ
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux
Faux Vrai Faux
Faux Faux Vrai

Léquivalence PQ nest autre que (PQ) ∧ (QP) ((P implique Q) et (Q implique P)).

En logique intuitionniste, deux propositions P et Q sont équivalentes si et seulement si on a une démonstration de Q à partir de P et une démonstration de P à partir de Q.

Autrement dit, dans les deux cas classique et intuitionniste, dire que deux propositions P et Q sont équivalentes revient à dire que chacune delles implique lautre.

Dans ce cas, les propositions « PQ » et « QP » sont dites réciproques lune de lautre.

Pour démontrer, une équivalence PQ, il faut donc démontrer limplication PQ et sa réciproque.

Dans le langage naturel, pour traduire que deux propositions P et Q sont équivalentes, on dira indifféremment :

  • P est vraie si et seulement si Q est vraie.
  • Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie.
  • Une condition nécessaire et suffisante pour que P soit vraie est que Q soit vraie (ou cns).
  • La vérité de P est une condition nécessaire et suffisante pour que Q soit vraie.
  • P équivaut à Q.

Dautres expressions « ou encore », « ou » (mais pas le connecteur logique ou), « soit » peuvent traduire une équivalence comme dans lexemple suivant :

Pour tout réel x, x2=x équivaut à x2-x=0 soit x(x-1)=0 ou encore ((x=0) ou (x=1))

Ici, « soit » (XOR) ne sert pas à définir un objet, et le dernier « ou » est un ou logique (OR).

ssi ((en) iff) est une abréviation de « si et seulement si » couramment utilisée pour écrire des équivalences.

Propriétés

  • PP (l'équivalence est réflexive)
  • (PQ) ⇒ (QP) (l'équivalence est symétrique)
  • (PQ) ∧ (QR) ⇒ (PR) (léquivalence est transitive)

Ces trois lois montrent que l'équivalence logique est une relation d'équivalence

Exemples

  • On a
\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \{1\}, (x+1)^n=(x-1)^n\Leftrightarrow \frac{(x+1)^n}{(x-1)^n}=1
  • Léquivalencex, y∈ℝ (x=yx2=y2) (en élevant au carré) est fausse parce que par exemple 22=(-2)2 nimplique pas 2=-2
  • Léquivalence suivante est vraie
\forall x\in [-1, +\infty[, x-1\geq \sqrt{x+1} \Leftrightarrow ((x-1)^2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0) (en élevant au carré)

En élevant au carré, on perd linformation que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir léquivalence, on rajoute la propriété x-1≥0.

Remarques :

Démontrer par équivalence nest pas toujours simple ; dans certains cas, il est préférable de démontrer séparément les implications réciproques.

Dire que léquivalence PQ est vraie ne veut pas dire que P et Q sont vraies, mais que si lune dentre elles est vraie (resp. fausse), lautre aussi.

Équivalence entre plusieurs propositions

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les équivalences PQR, il suffit de démontrer les implications :

PQ, QR et RP.

Soient les implications PQ, QR et RP établies.

Pour démontrer que QP, on utilise QR et RP.

Pour démontrer que RQ, on utilise RP et PQ.

Et enfin pour démontrer que PR, on utilise PQ et QR.

Ce type de démonstration sappelle une démonstration « circulaire » ou « en cercle ».

On peut généraliser à n propositions P1, P2Pn.

Pour démontrer les équivalences P1P2 ⇔… ⇔ Pn, il suffit de démontrer les implications :

P1P2, P2P3Pn-1Pn et PnP1.
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