Norme équivalente

En mathématiques et plus précisément en topologie, il existe une relation d'équivalence entre les différentes normes définies sur un espace vectoriel. Cette relation d'équivalence est une condition suffisante pour que les topologies induites par les normes soient identiques. L'analogie entre les deux espaces métriques ne s'arrête pas là. Si deux normes sont équivalentes alors l'uniforme continuité ou la convergence d'une suite de Cauchy pour une norme implique cette propriété pour l'autre.

Définition

Soit E un espace vectoriel, N₁ et N₂ deux normes sur E.

Définition —  Les normes N₁ et N₂ sont dites équivalentes si et seulement s'il existe deux nombres réels c et C strictement positifs tels que les deux majorations suivantes soient vérifiées.

Propriétés

La première propriété est immédiate :

En effet, la réflexivité est immédiate, il suffit de choisir la valeur un pour c et C. La symétrie est obtenue avec les valeurs C^-1 et c^-1. Enfin si :

La transitivité est obtenue avec les deux coefficients c₁.c₂ et C₁.C₂.

La topologie sur un espace vectoriel E induite par une norme N est l'ensemble des ouverts de E. Un ensemble O est dit ouvert si et seulement si pour tout x élément de O, il existe une boule ouverte de centre x et non vide contenue dans O.

Démontrons la proposition 2 : Soit O un ouvert pour la norme N₁ et x un élément de O. Il existe un réel strictement positif d tel que la boule ouverte de centre x et de rayon d pour la norme N₁ est incluse dans O. Une telle boule contient la boule ouverte de centre x et de rayon cd pour la norme N₂. Ceci montre que O est un ouvert pour la norme induite par N₂. Un raisonnement analogue sur la deuxième inégalité montre que tout ouvert induit par la norme N₂ est un ouvert pour la première norme.

Réciproquement, si elles induisent la même topologie, montrons par exemple qu'il existe C > 0 tel que . Comme les topologies sont les mêmes, la boule centrée en 0 de rayon 1 pour N₂ contient une boule centrée en 0 de rayon R > 0 pour N₁. Soit non nul, alors appartient à la boule centrée en 0 de rayon R pour N₁, donc à la boule centrée en 0 de rayon 1 pour N₂, ainsi

On a donc le résultat en posant C = 2 / R.

Certaines notions, comme la complétude ne s'exprime pas en termes de topologie. La notion de distance est indispensable. L'équivalence des normes implique néanmoins l'équivalence de ces concepts.

Démontrons la proposition 3 : Il suffit pour cela de montrer que, si une suite (u_n ) est de Cauchy pour N₂, alors elle est de Cauchy pour N₁. La complétude de E pour la norme N₁ implique la convergence. De plus, toute suite convergente pour N₁ l’est pour N₂ car les deux topologies induites sont les mêmes.

La suite est de Cauchy pour N₁, donc :

L’équivalence des normes montrent que :

Ce qui termine la démonstration.

Cette proposition se démontre exactement comme la précédente.

En effet, il suffit de remarquer que, en gardant les mêmes notations :

Exemple

Toutes les normes d'un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes. Il n'existe donc qu'un seul espace vectoriel normé de dimension finie n, à un isomorphisme près : l'espace euclidien de dimension n. Comme un espace vectoriel complexe normé de dimension finie n est aussi un espace vectoriel réel normé de dimension finie 2n, la norme est toujours unique, à une équivalence près. Les démonstrations sont données dans l'article détaillé.

Référence

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

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