Approximation de Bernstein

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue $f$ définie sur l'intervalle $[0,1]$ par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Ces polynômes sont de la forme

$B^n_k(x)=C_n^k x^k (1-x)^{n-k}$

pour un entier $n$ , où $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de $k$ éléments (sans les distinguer) parmi $n$ . On construit donc une approximation de $f$ par la fonction

$b_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)B^k_n(x).$

On construit $b_n(f,\cdot)$ à partir des valeurs de $f$ aux points 0, ¹⁄_n, …, ^(n-1)⁄_n, 1 mais, en ces points, la valeur de $b_n(f,\cdot)$ peut être différente de celle de $f$ , autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de $b n (f, x)$ vers $f$ s'énonce donc de la façon suivante : pour tout $ε > 0$ , il existe un entier $n$ tel que :

pour tout entier $m\ge n$ et tout $x\in[0,1],\qquad|f(x)-b_m(f,x)|<\epsilon.$

Il convient de noter que si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(n, x)$ , alors $b n (f, x)$ n'est rien d'autre que l'espérance de $f (X / n)$ , c'est-à-dire la moyenne de $f$ appliquée au nombre de succès de $n$ expériences indépendantes de probabilité $x\,$ . La convergence simple de $b n (f, x)$ (c'est-à-dire pour chaque point $x$ ) vers $f (x)$ est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre ^X⁄_n et $x$ , on en déduit facilement la convergence uniforme de $b_n(f,\cdot)$ vers $f$ .

Bibliographie

S. Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912

Articles connexes

Théorème de Bernstein (théorie de l'approximation) (en)
Inégalité de Jackson (en)
Approximation de Korovkine (de), cf (en) N. L. Carothers, Real analysis, CUP, 2000 (ISBN 9780521497565), p. 186

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