Approximation de Bernstein

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue $f$ définie sur l'intervalle $[0,1]$ par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Ces polynômes sont de la forme

$B^n_k(x)=C_n^k x^k (1-x)^{n-k}$

pour un entier $n$ , où $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de $k$ éléments (sans les distinguer) parmi $n$ . On construit donc une approximation de $f$ par la fonction

$b_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)B^k_n(x).$

On construit $b_n(f,\cdot)$ à partir des valeurs de $f$ aux points 0, ¹⁄_n, …, ^(n-1)⁄_n, 1 mais, en ces points, la valeur de $b_n(f,\cdot)$ peut être différente de celle de $f$ , autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de $b n (f, x)$ vers $f$ s'énonce donc de la façon suivante : pour tout $ε > 0$ , il existe un entier $n$ tel que :

pour tout entier $m\ge n$ et tout $x\in[0,1],\qquad|f(x)-b_m(f,x)|<\epsilon.$

Il convient de noter que si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(n, x)$ , alors $b n (f, x)$ n'est rien d'autre que l'espérance de $f (X / n)$ , c'est-à-dire la moyenne de $f$ appliquée au nombre de succès de $n$ expériences indépendantes de probabilité $x\,$ . La convergence simple de $b n (f, x)$ (c'est-à-dire pour chaque point $x$ ) vers $f (x)$ est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre ^X⁄_n et $x$ , on en déduit facilement la convergence uniforme de $b_n(f,\cdot)$ vers $f$ .

Bibliographie

S. Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912

Articles connexes

Théorème de Bernstein (théorie de l'approximation) (en)
Inégalité de Jackson (en)
Approximation de Korovkine (de), cf (en) N. L. Carothers, Real analysis, CUP, 2000 (ISBN 9780521497565), p. 186

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Approximation de Bernstein de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Approximation De Bernstein — L approximation de Bernstein est une méthode d approximation polynomiale permettant d approcher uniformément une fonction continue définie sur l intervalle par une famille de polynômes, appelés polynômes de Bernstein. Cela donne une version… … Wikipédia en Français
Approximation de bernstein — L approximation de Bernstein est une méthode d approximation polynomiale permettant d approcher uniformément une fonction continue définie sur l intervalle par une famille de polynômes, appelés polynômes de Bernstein. Cela donne une version… … Wikipédia en Français
Approximation De Fonction — L approximation de fonction concerne toutes les méthodes permettant d approcher une fonction mathématique par une suite de fonctions qui convergent dans un certain espace fonctionnel. Bien que puisant généralement ses résultats dans l analyse et… … Wikipédia en Français
Approximation de fonction — L approximation de fonction concerne toutes les méthodes permettant d approcher une fonction mathématique par une suite de fonctions qui convergent dans un certain espace fonctionnel. Bien que puisant généralement ses résultats dans l analyse et… … Wikipédia en Français
Bernstein's constant — Bernstein s constant, usually denoted by the greek letter β (beta), is a mathematical constant named after Sergei Natanovich Bernstein and is approximately equal to 0.2801694990. Definition Let E n ( fnof;) be the error of the best uniform… … Wikipedia
Interpolation de Bernstein — Approximation de Bernstein L approximation de Bernstein est une méthode d approximation polynomiale permettant d approcher uniformément une fonction continue définie sur l intervalle par une famille de polynômes, appelés polynômes de Bernstein.… … Wikipédia en Français
Bernstein polynomial — In the mathematical field of numerical analysis, a Bernstein polynomial, named after Sergei Natanovich Bernstein, is a polynomial in the Bernstein form, that is a linear combination of Bernstein basis polynomials.A numerically stable way to… … Wikipedia
Bernstein-Polynom — Die Bernsteinpolynome sind eine Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Sergei Natanowitsch Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven… … Deutsch Wikipedia
Approximation theory — In mathematics, approximation theory is concerned with how functions can best be approximated with simpler functions, and with quantitatively characterizing the errors introduced thereby. Note that what is meant by best and simpler will depend on … Wikipedia
Bernstein's theorem — In mathematics, Bernstein s theorem may refer to: Bernstein s theorem about the Sato–Bernstein polynomial Bernstein s problem about minimal surfaces Bernstein s theorem on monotone functions Bernstein s theorem (approximation theory) This… … Wikipedia

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Approximation de Bernstein

Bibliographie

Articles connexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Approximation de Bernstein

Bibliographie

Articles connexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link