- Approximation de Bernstein
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En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue f définie sur l'intervalle [0,1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.
Ces polynômes sont de la forme
pour un entier n, où est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de k éléments (sans les distinguer) parmi n. On construit donc une approximation de f par la fonction
On construit à partir des valeurs de f aux points 0, 1⁄n, …, (n-1)⁄n, 1 mais, en ces points, la valeur de peut être différente de celle de f, autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.
La convergence uniforme de bn(f,x) vers f s'énonce donc de la façon suivante : pour tout ε > 0, il existe un entier n tel que :
- pour tout entier et tout
Il convient de noter que si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n,x), alors bn(f,x) n'est rien d'autre que l'espérance de f(X / n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité . La convergence simple de bn(f,x) (c'est-à-dire pour chaque point x) vers f(x) est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre X⁄n et x, on en déduit facilement la convergence uniforme de vers f.
Bibliographie
- S. Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912
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