Méthode du gradient biconjugué

En mathématiques, plus spécifiquement en analyse numérique, la méthode du gradient biconjugué est un algorithme permettant de résoudre un système d'équations linéaires

$A x= b.\,$

Contrairement à la méthode du gradient conjugué, cet algorithme ne nécessite pas que la matrice $A$ soit auto-adjointe, en revanche, la méthode requiert des multiplications par la matrice adjointe $A *$ .

L'algorithme

Choisir $x 0$ , $y 0$ , un préconditionneur régulier $M$ (on utilise fréquemment $M - 1 = 1$ ) et $c$ ;
$r_0 \leftarrow b-A x_0, s_0 \leftarrow c-A^* y_0\,$ ;
$d_0 \leftarrow M^{-1} r_0, f_0 \leftarrow M^{-*} s_0\,$ ;
for $k=0, 1, \dots\,$ do
$\alpha_k \leftarrow {s^*_k M^{-1} r_k \over f_k^* A d_k}\,$ ;
$x_{k+1} \leftarrow x_k+ \alpha_k d_k\,$ $\left( y_{k+1} \leftarrow y_k + \overline{\alpha_k} f_k \right)\,$ ;
$r_{k+1} \leftarrow r_k- \alpha_k A d_k \,$ , $s_{k+1} \leftarrow s_k- \overline{\alpha_k} A^* f_k \,$ ( $r k = b - A x k$ et $s k = c - A * y k$ sont le résidus);
$\beta_k \leftarrow {s_{k+1}^* M^{-1} r_{k+1} \over s^*_k M^{-1} r_k}\,$ ;
$d_{k+1} \leftarrow M^{-1} r_{k+1} + \beta_k d_k\,$ , $f_{k+1} \leftarrow M^{-*} s_{k+1} + \overline{\beta_k} f_k\,$ .

Discussion

La méthode est numériquement instable, mais on y remédie par la méthode stabilisée du gradient biconjugué (en), et elle reste très importante du point de vue théorique : on définit l'itération par $x_k:=x_j+ P_k A^{-1}\left(b - A x_j \right)$ et $y_k:=y_j+A^{-*}P_k^*\left(c-A^* y_j \right)$ ( $j < k$ ) en utilisant les projections suivantes :

$P_k:= \mathbf{u_k} \left(\mathbf{v_k}^* A \mathbf{u_k} \right)^{-1} \mathbf{v_k}^* A$ ,

Avec $\mathbf{u_k}=\left(u_0, u_1, \dots u_{k-1} \right)$ et $\mathbf{v_k}=\left(v_0, v_1, \dots v_{k-1} \right)$ . On peut irérer les projections elles-mêmes, comme

$P_{k+1}= P_k+ \left( 1-P_k\right) u_k \otimes {v_k^* A\left(1-P_k \right) \over v_k^* A\left(1-P_k \right) u_k}$ .

Les nouvelles directions de descente $d_k:= \left(1-P_k \right) u_k$ et $f_k:= \left( A \left(1- P_k \right) A^{-1} \right)^* v_k$ sont alors orthogonales aux résidus : $v_i^* r_k= f_i^* r_k=0$ et $s_k^* u_j = s_k^* d_j= 0$ , qui satisfont aux-même $r_k= A \left( 1- P_k \right) A^{-1} r_j$ et $s_k= \left( 1- P_k \right) ^* s_j$ ( $i, j < k$ ).

La méthode du gradient biconjugué propose alors le choix suivant :

u k : = M - 1 r k

v k : = M - * s k

Ce choix particulier permet alors d'éviter une évaluation directe de $P k$ et $A - 1$ , et donc augmenter la vitesse d'execution de l'algorithme.

Propriétés

Si $A = A *$ est auto-adjointe, $y 0 = x 0$ et $c = b$ , donc $r k = s k$ , $d k = f k$ , et la méthode du gradient conjugué produit la même suite $x k = y k$ .

En dimensions finies $x n = A - 1 b$ , au plus tard quand $P n = 1$ : La méthode du gradient biconjugué rend la solution exacte après avoir parcouru tout l'espace et est donc une méthode directe.

La suite produite par l'algorithme est biorthogonale (en) : $f_i^* A d_j = 0$ et $s_i^* M^{-1} r_j=0$ pour $i \ne j$ .

SI $p j'$ est un polynôme avec $deg\left( p_{j'} \right) +j <k$ , alors $s_k^* p_{j'}\left(M^{-1} A \right) u_j=0$ . L'algorithme est donc composé de projections sur des sous-espaces de Krylov (en) ;

SI $p i'$ est un polynôme avec $i+deg\left( p_{i'} \right) <k$ , alors $v_i^* p_{i'}\left(A M^{-1} \right) r_k=0$ .

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Biconjugate gradient method » (voir la liste des auteurs)

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