Méthode de simpson

Méthode de Simpson

Pour les articles homonymes, voir Simpson.

En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire, le calcul approché de :

$\int_{a}^{b} f(x) dx$

Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de $f$ par un polynôme quadratique $P$ prenant les mêmes valeurs que $f$ aux points d'abscisse $a$ , $b$ et $m = \frac{a+b}{2}$ . Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :

$P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}$

Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a,b], par l'intégrale de $P$ sur ce même intervalle. On a ainsi, la simple formule:

$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \int_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$

La courbe rouge représente le polynôme d'approximation P(x).

Un autre moyen d'arriver à ce résultat est d'appliquer les formules de Newton-Cotes avec n=2.

Si f est 4 fois continument différentiable sur [a,b], l'erreur d'approximation vaut :

$-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi), \xi \in [a,b]$ où $h=\frac{b-a}{2}$

Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction 4 fois continument dérivable sur [a,b].

Par ailleurs, il apparait que plus l'intervalle est petit, plus l'approximation de la valeur de l'intégrale est bonne. Par conséquent, pour obtenir un résultat correct, on subdivise chaque intervalle [a,m] et [m,b] en sous intervalles et on additionne la valeur obtenue sur chaque intervalle. Soit :

$\int_a^b f(x) dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],$

où :

$n$ est le nombre de sous intervalles de $[a, b]$ avec $n$ pair,
$h = (b - a) / n$ est la longueur de ces sous intervalles
$x i = a + i h$ pour $i=0, 1, \dots, n-1, n$ ,
$x 0 = a$ et $x n = b$ .

Pour cette formule composite, le terme d'erreur devient égal à

$n \times \frac{h^5}{180}f^{(4)}(\xi'), \xi' \in [a,b]$

ce qui signifie que la méthode composite fournit aussi des résultats exacts pour des polynômes de degré inférieur ou égal à trois.

À la fois cause de sa simplicité de mise en œuvre, et de sa bonne précision, cette méthode est la plus utilisée par les calculatrices pour tous calculs approchés d'intégrales de fonctions explicites.

Voir aussi

Calcul intégral (mathématiques élémentaires)
Formules de Newton-Cotessur Math-Linux.com

Ce document provient de « M%C3%A9thode de Simpson ».

Catégorie : Intégration numérique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode de simpson de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Methode de Simpson — Méthode de Simpson Pour les articles homonymes, voir Simpson. En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson est une technique de calcul numérique d une intégrale, c est à dire, le calcul approché de : Cette méthode… … Wikipédia en Français
Méthode De Simpson — Pour les articles homonymes, voir Simpson. En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson est une technique de calcul numérique d une intégrale, c est à dire, le calcul approché de : Cette méthode utilise l… … Wikipédia en Français
Méthode de Simpson — Pour les articles homonymes, voir Simpson. En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson est une technique de calcul numérique d une intégrale, c est à dire, le calcul approché de : Cette méthode utilise l… … Wikipédia en Français
Methode de Romberg — Méthode de Romberg En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d… … Wikipédia en Français
Méthode De Romberg — En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d accélération permet … Wikipédia en Français
Méthode de romberg — En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d accélération permet … Wikipédia en Français
Methode des trapezes — Méthode des trapèzes Principe de la méthode : l aire sous la courbe représentative de f est approchée par l aire sous une droite affine (en rouge) En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul … Wikipédia en Français
Méthode Des Trapèzes — Principe de la méthode : l aire sous la courbe représentative de f est approchée par l aire sous une droite affine (en rouge) En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d une… … Wikipédia en Français
Méthode de Romberg — En analyse numérique, la méthode d intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d intégrale, basée sur l application du procédé d extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d accélération permet … Wikipédia en Français
Simpson — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Pour les articles homonymes, voir Simson. Patronyme Le nom de Simpson est porté par plusieurs personnalités (par ordre alphabétique) : Ashlee Simpson … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Méthode de simpson