Calcul intégral (mathématiques élémentaires)

Calcul intégral

Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires

Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.

Sommaire

1 Primitives
- 1.1 Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle
2 Intégrale
3 Méthodes de calcul d'une intégrale
4 Calcul numérique approché d'une intégrale
5 Voir aussi

Primitives

Soit $f\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ . Une fonction $F\,$ est une primitive de $f\,$ sur l’intervalle $I\,$ si $F\,$ est dérivable sur $I\,$ et si pour tout $x\,$ de $I\,$ , $F' (x) = f(x)\,$ . Si $f\,$ est une fonction continue sur un intervalle $I\,$ , alors il existe au moins une fonction $F\,$ dérivable sur $I\,$ telle que $f\,$ soit la dérivée de $F\,$ sur $I\,$ . $F\,$ est alors une primitive de $f\,$ sur $I\,$ .

Par exemple, si $f\,$ est définie sur $\R\,$ par $f\colon x \mapsto 6x$ , alors la fonction $F\,$ définie sur $\R\,$ par $F\colon x \mapsto 3x^2\,$ admet pour dérivée $f\,$ , et donc $F\,$ est une primitive de $f\,$ sur $\R\,$ .

Si $F\,$ est une primitive de $f\,$ sur $I\,$ , alors pour toute constante $k\,$ , la fonction $G\,$ définie sur $\R$ par $G\colon x \mapsto F(x) + k\,$ est aussi une primitive de $f\,$ sur $I\,$ car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle. Nous en déduisons que si $f\,$ admet une primitive sur $I\,$ alors elle en admet une infinité.

Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle

Deux primitives différentes d'une même fonction $f\,$ ne diffèrent que d'une constante. En effet si $F\,$ et $G\,$ sont deux primitives de $f\,$ alors $F' = G' = f\,$ donc $(F - G)' = 0\,$ . $I\,$ étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe $C\,$ une constante définie sur telle que $F - G = C\,$ soit $F = G + C\,$

Soit $f\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ . Si $f\,$ admet une primitive $F\,$ sur $I\,$ , alors l'ensemble des primitives de $f\,$ sur $I\,$ est l'ensemble des fonctions $G\,$ de la forme :

$G : I \rightarrow \R\,$

$x \mapsto F(x) + k\,$

où $k\,$ est une constante réelle. On remarque que les primitives de la fonction nulle sont les fonctions constantes.

Soit $I\,$ un intervalle, $a\,$ un réel de $I\,$ et $b\,$ un réel quelconque. Il existe une et une seule primitive $F\,$ , d’une fonction $f\,$ continue sur $I\,$ , telle que $F(a)=b\,$ . $F\,$ est appelée la primitive de $f\,$ sur $I\,$ vérifiant la condition initiale : $F(a) = b\,$ .

Par exemple pour trouver la primitive de $f(x) = 7x - 3\,$ vérifiant la condition initiale $F(1)=1\,$ .

On calcule d'abord la forme générale de la primitive $F(x)={7 \over 2}x^2-3x+k\,$ .

Puis on résout l'équation ${7 \over 2} \cdot 1^2-3 \cdot 1+k=1\,$ et on obtient $k={1 \over 2}\,$ et donc la primitive recherchée est $F(x)={7 \over 2}x^2-3x+{1 \over 2}\,$ .

Intégrale

Définition de l’intégrale à partir de la notion de primitive

Soit $f\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ et admettant des primitives sur $I\,$ . Soient $a\,$ et $b\,$ dans $I\,$ . Soit $F\,$ une primitive de $f\,$ sur $I\,$ . Nous appelons intégrale de $a\,$ à $b\,$ de $f\,$ , le nombre :

$F(b) - F(a)\,$

qui ne dépend pas du choix de la primitive de $f\,$ , parce que les primitives de $f\,$ sur l’intervalle $I\,$ diffèrent d’une fonction constante. Nous notons ce nombre :

$\int_a^b f(t) dt\,$

qui se lit « intégrale de $a\,$ à $b\,$ de $f\,$ », et nous pouvons aussi le noter

$\left[F(t)\right]_a^b\,$

qui se lit « $F\,$ . pris entre $a\,$ . et $b\,$ . »

Dans la notation avec le symbole de intégrale, $t\,$ joue le rôle d’une variable muette, et nous avons

$\int_a^b f(t) dt=\int_a^b f(x) dx=\ldots\,$ ,

de plus le nombre représenté par cette intégrale ne dépend pas de $t\,$ .

Remarquons dans le cas où $f\,$ est continue sur $I\,$ , que l’application $G\,$ définie sur $I\,$ :

$G:x\mapsto\int_a^x f(t) dt=F(x)-F(a)\,$

n’est autre que la primitive de $f\,$ qui s’annule en $a\,$ et cette fonction $G\,$ est donc la seule fonction dérivable sur $I\,$ telle $G'=f\,$ et $G(a) = 0\,$ .

Nous avons donc

$\int_a^a f(t) dt=F(a)-F(a)=0\,$

Propriétés de l’intégrale

Linéarité de l'intégrale

Si $f\,$ et $g\,$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I\,$ et admettant des primitives sur $I\,$ , alors la fonction $f+g\,$ admet aussi des primitives sur $I\,$ et pour tout $a\,$ et tout $b\,$ de $I\,$ , on a :

$\int_a^b (f(t)+g(t)) dt=\int_a^b f(t) dt +\int_a^b g(t) dt \,$

De plus, si $\lambda\,$ est un réel quelconque alors la fonction $\lambda\, f\,$ admet des primitives sur $I\,$ et :

$\int_a^b \lambda f(t) dt=\lambda\int_a^b f(t) dt\,$

Relation de Chasles

Soient $a\,$ et $b\,$ deux réels de l’intervalle $I\,$ . Si $f\,$ une fonction définie sur $I\,$ et admettant des primitives sur $I\,$ , alors pour tous $a\,$ , $b\,$ et $c\,$ dans $I\,$

$\int_a^c f(x) dx= \int_a^b f(x) dx+ \int_b^c f(x) dx\,$ (relation de Chasles)

En effet si $F\,$ est une primitive de $f\,$ sur $I\,$ alors :

$F(b) - F(a) = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c))\,$ .

En prenant $a = b\,$ dans la relation de Chasles, nous obtenons :

$\int_a^c f(x) dx=-\int_c^a f(x) dx\,$

en effet

$0=\int_a^a f(x) dx= \int_a^c f(x) dx+ \int_c^a f(x) dx\,$

Positivité de l’intégrale

Soit $f\,$ une fonction définie sur l'intervalle $I\,$ qui admet des primitives sur $I\,$ , et si $a\,$ et $b\,$ sont deux réels dans $I\,$ tels que $a < b\,$ .

Si pour tout réel $x\,$ de $\left [a, b \right ]\,$ , $f(x) \geq 0\,$ alors

$\int_a^b f(x) dx\geq 0\,$

En effet sous cette condition, toute primitive de $f\,$ sur l’intervalle $I\,$ est croissante.

Conséquences :

Croissance de l’intégrale

Si $f\,$ et $g\,$ admettent des primitives sur $I\,$ et si pour tout $x\,$ dans $\left[a, b \right]\,$ , $f(x) \leq g(x)\,$ alors

$\int_a^b f(x) dx\leq \int_a^b g(x) dx\,$

(il suffit de poser $h=g\ - f\,$ et d'utiliser la positivité et la linéarité de l’intégrale)

Inégalité de la moyenne

S’il existe $m\,$ et $M\,$ des réels tels que pour tout $x\,$ dans $\left[a, b\right]\,$ , $m \leq f(x) \leq M\,$ , alors

$m(b-a)\leq \int_a^b f(x) dx\leq M(b-a)\,$

S’il existe un réel $M\,$ tel que pour tout $x\,$ dans $\left[a, b\right]\,$ , $\left|f(x)\right| \leq M\,$ , alors

$\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq M(b - a)\,$

S’il existe un réel $M\,$ tel que pour tout $x\,$ dans $I\,$ , $\left |f(x)\right| \leq M\,$ , alors pour tout $a\,$ et tout $b\,$ dans $I\,$ ,

$\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq M|b - a|\,$

Forme simple du premier théorème de la moyenne

Si $f\,$ est continue sur $I\,$ , alors pour tout $a\,$ et tout $b\,$ dans $I\,$ , il existe un réel $c\,$ compris entre $a\,$ et $b\,$ tel que :

$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b - a)\,$

Valeur moyenne d'une fonction

Si $f\,$ admet des primitives sur un intervalle $I\,$ , si $a\,$ et $b\,$ sont dans $I\,$ tels que $a\,$ < $b\,$ , nous appelons valeur moyenne de $f\,$ sur $\left[a, b\right]\,$ , le nombre :

$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\,$

Parité

Soit $f\,$ une fonction qui admet des primitives sur un intervalle $I\,$ centré en 0. Si $a\,$ est un réel, tel que $a\,$ et $-a\,$ appartiennent à $I\,$ , alors:

si $f\,$ est paire, $\int_{-a}^{a} f(x)dx= 2\int_0^{a} f(x)dx\,$
si $f\,$ est impaire, $\int_{-a}^{a} f(x)dx=0\,$

Intégrale et aire

Un cas particulier :

Soient $a\,$ et $b\,$ deux réels tels que $a < b\,$ . Soit $f\,$ une fonction constante sur $\left[a, b\right]\,$ et soit $c\,$ tel que

pour tout réel $x\,$ de $\left[a, b\right]\,$ , $f(x)\,$ = $c\,$

Alors l’intégrale de $a\,$ à $b\,$ de $f\,$ est égale à $c(b\,$ - $a)\,$ et représente l’aire algébrique du rectangle de sommets $(a, 0)\,$ , $(b, 0)\,$ , $(b, c)\,$ et $(a, c)\,$ .

Théorème :

Soient $a\,$ et $b\,$ deux réels tels que $a < b\,$ . Soit $f\,$ une fonction continue sur $\left[a, b\right]\,$ . Soit $(x_0\,$ , $x_1\,$ , …, $x_n)\,$ une suite strictement croissante de points partageant le segment $\left[a, b\right]\,$ en $n\,$ intervalles de longueur

$\frac{b-a}{n}\,$

Nous avons alors pour tout $i\,$ compris entre $0\,$ et $n\,$ ,

$x_i=a+i.\frac{b-a}{n}\,$

Alors la somme

$\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)\,$

tend vers $\int_a^b f(t) dt\,$ lorsque $n\,$ tend vers $+\infty\,$ .

Interprétation graphique :

Cette somme (appelée somme de Riemann) représente graphiquement la somme algébrique des aires des rectangles de gauche et est une valeur approchée de $\int_a^b f(t) dt\,$ .

Si $f\,$ est une fonction positive continue sur $\left[a, b\right]\,$ et si $\mathcal C\,$ est la courbe représentative de $f\,$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O\,$ ; $i\,$ , $j)\,$ , $\int_a^b f(t) dt\,$ est la mesure de l’aire du plan délimité par $\mathcal C\,$ , l’axe des abscisses $O\,$ $x\,$ et les droites d’équations $x\,$ = $a\,$ et $x\,$ = $b\,$ . L’unité d’aire étant l’aire du rectangle $O\,$ $I\,$ $K\,$ $J\,$ .

Méthodes de calcul d'une intégrale

Calcul direct à l'aide des primitives usuelles

Intégration par parties

Théorème :

Soit $I\,$ un intervalle. Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions dérivables sur $I\,$ telles que les fonctions $f'\,$ $g\,$ et $f\,$ $g'\,$ soient continues sur $I\,$ . Soit $a\,$ un réel dans $I\,$ . Alors, pour tout réel $x\,$ dans $I\,$

$\int_a^x f^{\prime}\left( t\right) g\left( t\right) dt=\left[f\left( t\right) g\left( t\right)\right]_a^x -\int_a^x f\left( t\right) g^{\prime }\left( t\right) dt\,$

En particulier :

Théorème :

Soient $a\,$ et $b\,$ deux réels tels que $a < b\,$ . Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions dérivables sur $\left[a, b\right]\,$ et telles que les fonctions $f'\,$ , $g\,$ , $f\,$ et $g'\,$ soient continues sur $\left[a, b\right]\,$ . Alors :

$\int _{a}^{b}f^{\prime}\left( t\right) g\left( t\right) dt=\left[ f\left( t\right) g\left( t\right) \right] _{a}^{b}-\int _{a}^{b}f\left( t\right) g^{\prime }\left( t\right) dt\,$

On peut généraliser cette formule aux fonctions de classe $C k + 1$

$\int_{a}^{b} f^{(k+1)}(x) g(x)\,dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{(k-n)}(x) g^{(n)}(x) \right]_{a}^{b} + (-1)^{k+1} \int_{a}^{b} f(x) g^{(k+1)}(x) \,dx$

Intégration par la méthode des résidus

Article détaillé : Théorème des résidus.

Calcul numérique approché d'une intégrale

On considère ici le cas d'une fonction $f\,$ définie sur $\left [a, b \right ]\,$ . On définit le « pas » d'approximation $h\,$ de la manière suivante : $h = \frac{b-a}{n}\,$ ; où $n\,$ détermine la précision de l'approximation. On définit aussi $x_i = a +ih\,$ .

Méthode des rectangles

La méthode des rectangles revient à une approximation de $f\,$ par une fonction en escalier, avec $n\,$ « marches » de longueur $h\,$ . La valeur approchée $R\,$ de l'intégrale vaut alors :

$R = h \sum_{i = 0}^{n - 1} f(x_i)\,$ .

Méthode des trapèzes

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

On utilise une fonction continue affine par morceaux approchant la fonction à intégrer et égale à celle-ci sur les points de la subdivision en $n \,$ sous-intervalles égaux de l'intervalle d'intégration $\left[ a , b \right]\,$ pour obtenir une approximation de la valeur de son intégrale sur $\left[ a , b \right]\,$ .

En remplaçant par des trapèzes les rectangles utilisés précédemment, on obtient :

$R = h\left[ \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right]\,$ .

On peut déterminer la précision de cette approximation en utilisant la formule suivante :

$\left| I - R \right| \leq \frac{M(b - a)^3}{12n^2}\,$ où $M\,$ est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 2 de $f\,$ sur $[a;b]\,$ et $I \,$ la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Simpson

Article détaillé : Méthode de Simpson.

On utilise maintenant des paraboles que l'on fait passer par trois points consécutifs du découpage en $2n\,$ segments de l'intervalle d'intégration de $f\,$ .

On s'appuie sur le résultat exact suivant où $P\,$ est une fonction polynomiale de degré deux :

Si $a\,$ , $b\,$ et $c\,$ sont trois réels tels que $c = \frac{(b+a)}{2}\,$ , alors $\int_{a}^{b} P(x)\, dx = \frac{(b-a)}{6}\begin{pmatrix} f(a)+4f(c)+f(b) \end{pmatrix}\,$ On obtient alors une valeur approchée de $I\,$ avec la formule suivante :

$R = \frac{h}{6} \left[ f(a) + f(b) + 4 \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{2i+1}) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_{2i}) \right]\,$ où $h = \frac{b-a}{n}$ et $x_k = a + k\frac h2$

On peut ici aussi déterminer la précision de la méthode, avec la formule suivante :

$\left| I - R \right| \leq \frac{M(b - a)^5}{2880n^4}\,$ où $M\,$ est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 4 de $f\,$ sur $[a;b]\,$ et $I\,$ la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Gauss-Legendre

Article détaillé : Méthodes de quadrature de Gauss.

On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire $\left\langle f|g \right\rangle =\int_{-1}^{+1} f(x)g(x)\, dx \,$

Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment $\left[ a , b \right]\,$

Il suffit de réaliser une application affine de $\left[ a , b \right]\,$ sur $\left[ -1 , +1 \right]\,$ , et de remarquer que

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \frac{(b-a)}{2}\int_{-1}^{+1}f\begin{pmatrix} \frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}x\end{pmatrix}\, dx \approx \frac{b - a}{2}\sum_{k = 1}^{n} {m\left( {x_k } \right)} f(\frac{b - a}{2}x_k + \frac{b + a}{2})\,$

où $x_k\,$ sont les racines du polynôme de Legendre de degré $n\,$

et où $m\left( {x_k } \right)\,$ sont les poids de ces racines, qui sont tels que l'égalité

$\int_{-1}^{+1}f\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}\, dx = \sum_{k = 1}^{n}{m\left( {x_k } \right)f(x_k)}\,$ est assurée pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $2n-1\,$

Les premiers polynômes sont

$P_0(x)=1\,$

$P_1(x)=x\,$

$P_2(x)=1-3x^2\,$

...

Une excellente précision est garantie dès que $n \ge 3 \,$ . Des tables permettent d'obtenir les valeurs des points et leurs poids.

Exemple

**Tableau des valeurs pour $n = 3\,$**
Numéro	Abscisse	Poids
1	$-\sqrt{\frac{3}{5}}=-0,774596669241483\,$	$\frac{5}{9}=0,555555555555556\,$
2	$0\,$	$\frac{8}{9}=0,888888888888889\,$
3	$\sqrt{\frac{3}{5}}=+0,774596669241483\,$	$\frac{5}{9}=0,555555555555556\,$

Voir aussi

Intégrale
- Table d'intégrales
- Calcul intégral
- Calcul numérique d'une intégrale
Primitive
- Table de primitives
Règles de Bioche

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Catégories : Mathématiques élémentaires | Théorie de l'intégration

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