Module simple

Module simple

Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M.

Sommaire

Exemples

  • L'anneau des entiers ℤ n'est pas un ℤ-module simple, en effet il contient le sous-module 2ℤ.
  • Un espace vectoriel de dimension 1 est un module simple. Plus abstraitement : un corps commutatif (ou même un corps gauche) est un module simple quand on le considère comme un espace vectoriel sur lui-même.
  • Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.

Structure des modules simples

Soient A un anneau et M un A-module simple.

  • Alors M est un A-module monogène, engendré n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le ℤ-module ℤ est monogène (engendré par 1) mais pas simple.
  • Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a↦ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-module de A/I sur M.
  • Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A.

Propriétés

  • Les modules simples sont les modules de longueur 1.
  • Un module simple est indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. En revanche, la réciproque est fausse.
    • Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, la proposition "tout module non nul possède un sous-module simple" est fausse. En effet ℤ n'est pas nul et tous ses sous-modules non nuls sont isomorphes à ℤ, donc non simples.

Lemme de Schur

Soient A un anneau, M et N des A-modules et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M). Si N est simple, alors f est surjective, soit nulle (en effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N).

L'anneau des endomorphismes d'un A-module simple est donc un corps, mais la réciproque est fausse : le ℤ-module ℚ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien ℚ est inversible.

Soient K un corps algébriquement clos, A une K-algèbre de dimension finie non nulle et M un A-module simple. Alors l'anneau des endomorphismes de A-module de M est canoniquement isomorphe à K.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Module simple de Wikipédia en français (auteurs)

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