Module d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe: Pour les articles homonymes, voir Module.

En mathématiques, le module d'un nombre complexe z est un nombre réel positif, noté |z|, qui mesure sa « taille » et généralise la valeur absolue d'un nombre réel. En coordonnées cartésiennes, z s'écrit a+ib où i est l'unité imaginaire, a est la partie réelle de z et b sa partie imaginaire. Le module de z est alors donné par
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Le terme module a été introduit par Jean-Robert Argand, exposant une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques^[1].

Sommaire

1 Exemples

2 Propriétés

3 Interprétation géométrique

4 Nombres complexes de module 1

5 Notes

Exemples

Le module de 0 est 0. Le module d'un nombre complexe non nul est non nul.

Le module d'un réel est sa valeur absolue.

Le module de 1+i est $\sqrt 2$ .

La racine carrée de $\frac12+i\frac{\sqrt{3}}2$ a pour module 1^[2].

Propriétés

Pour tous réels $a$ et $b$ de valeurs absolues respectives $| a |$ et $| b |$ et pour tous nombres complexes z, z₁, z₂, … , z_n :

$|a|\le\sqrt{a^2+b^2}=|a+ib|\quad\text{et}\quad|b|\le\sqrt{a^2+b^2}=|a+ib|$

$|z|\ge0$

$|z|=0\Leftrightarrow z=0$

$|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|~$

$\left|{z_1\over{z_2}}\right|={|z_1|\over{|z_2|}}\quad\text{si}\quad z_2\ne0$

$|\overline z|=|z|=|-\overline z|=|-z|$ , où $\overline z$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$

$z.\overline z=|z|^2$

$|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$ (inégalité triangulaire, qui se généralise en $|z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|$ )

$|z_1+z_2|\ge|~|z_1|-|z_2|~|$ (se déduit de l'inégalité triangulaire)

Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire : $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|~$ si et seulement si $\overline{z_1}z_2\in\R_+$ , ou encore si et seulement s’il existe un réel positif $λ$ tel que $z_2=\lambda z_1~$ ou $z_1=\lambda z_2~$ .

Interprétation géométrique

Article détaillé : plan d'Argand.

Si on interprète z comme un point dans le plan, c'est-à-dire si on considère son image, alors |z| est la distance de (l'image de) z à l'origine.

Il est utile d'interpréter l'expression |x - y| comme la distance entre les (images des) deux nombres complexes x et y dans le plan complexe.

D'un point de vue algébrique, le module est une valeur absolue, qui confère à l'ensemble des nombres complexes la structure de corps valué.

C'est en particulier une norme, de sorte que le plan complexe est un espace vectoriel normé (de dimension 2). Il en résulte que c'est un espace métrique (donc un espace topologique). En effet, l'application : $\C\times\C \rightarrow\R_+$ , $(z_1, z_2)\mapsto |z_1-z_2|$ est une distance.

Nombres complexes de module 1

L'application $z\mapsto|z|$ de $(\C^*,\times)$ dans $(\R^*,\times)$ est un morphisme de groupes. Son noyau n'est autre que l'ensemble $\mathbb U$ des nombres complexes de module 1, qui est donc un sous-groupe de $(\C^*,\times)$ . On l'appelle le groupe des unités de $\C$ .

L'application $x\mapsto\exp(ix)$ est un morphisme de groupes de $(\R,+)$ dans $(\mathbb U,\times)$ . Ce morphisme est périodique et on note $2π$ sa période. Cette définition du nombre $π$ est due au collectif Nicolas Bourbaki^{[réf. nécessaire]}.

Notes

↑ Jean-Robert Argand, Réflexion sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivie de la démonstration d'un théorème d'analyse, Annales de Gergonne, tome 5, p. 197-209, Annexe de Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques, Gauthier-Villars, Paris (1874), p. 122

↑ Comme expliqué dans cette vidéo.

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Catégorie :
Nombre complexe

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