Loi du zéro-un de Borel

Loi du zéro-un de Borel

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques[1], par Émile Borel, en vue de la démonstration du théorème des nombres normaux, et en vue d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Sommaire

Énoncé

Dans un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right), considérons une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0} d'éléments de \scriptstyle\ \mathcal{A} (ou "évènements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements \scriptstyle\ A_n sont indépendants, alors
\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)
vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est convergente ou divergente.
Démonstration
  • Si la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=0. C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.
  • Supposons que la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est divergente, et montrons que
\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=1,

ou, de manière équivalente, montrons que

\mathbb{P}\left(\overline{\limsup_n A_n}\right)=0.

On rappelle que

\overline{\limsup_n A_n} = \liminf_n\ \overline{A_n},

d'après les lois de De Morgan. Plus précisément,

\begin{align} \overline{\limsup_n A_n} &= \overline{\bigcap_{n\ge0}\bigcup_{k\ge n} A_k} \\ &= \bigcup_{n\ge0}\bigcap_{k\ge n}\overline{A_k} \\ &= \bigcup_{n\ge0}B_n, \end{align}

où

B_n= \bigcap_{k\ge n}\overline{A_k} =\overline{A_n}\cap B_{n+1}

est une suite croissante d'évènements. Ainsi

\mathbb{P}\left(\overline{\limsup_n A_n}\right)=\lim_n\ \mathbb{P}\left(B_n\right).

On conclut en montrant que \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(B_n\right)=0. Posons

B_{n,\ell}= \bigcap_{n\le k\le n+\ell}\overline{A_k} =\overline{A_{n+\ell}}\cap B_{n,\ell-1}.

En vertu de l'indépendance des \scriptstyle\ A_i,

\mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right)= \prod_{n\le k\le n+\ell}\mathbb{P}\left(\overline{A_k}\right) =\prod_{n\le k\le n+\ell}\left(1-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right).

En vertu de la décroissance en \scriptstyle\ \ell de \scriptstyle\ B_{n,\ell},

\mathbb{P}\left(B_{n}\right)= \lim_{\ell} \mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right).

Or on a :

\begin{align} \mathbb{P}\left(B_{n,\ell}\right) &= \prod_{k=n}^{n+\ell} \left(1-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right) \\ &\le \prod_{k=n}^{n+\ell}\exp\left(-\mathbb{P}\left(A_k\right)\right) \\ &= \exp\left(-\sum_{k=n}^{n+\ell}\mathbb{P}\left(A_k\right)\right) \underset{\ell \rightarrow \infty}{\longrightarrow}0 \end{align}

par convexité de l'exponentielle puis divergence de la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(A_n\right),\ ce qui achève la démonstration.

Limite supérieure d'ensembles

Définition —  La limite supérieure \scriptstyle \limsup_n\, A_n d'une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\, de parties d'un ensemble \scriptstyle \Omega est l'ensemble des éléments \scriptstyle \omega de \scriptstyle \Omega tels que l'assertion \scriptstyle \{\omega\in A_k\} soit vérifiée pour une infinité d'indices \scriptstyle k\ge 0.

En d'autres termes, on peut dire que \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si l'ensemble \scriptstyle \{k\ge 0\ \vert\ \omega\in A_k\} est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout \scriptstyle n\ge 0, on peut trouver \scriptstyle k\ge n tel que \scriptstyle \omega\in A_k. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}(\bigcup_{k\ge n} A_k).

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si \scriptstyle\ \{\omega\in A_k\}\ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\quad\text{i.o.}\right).

La définition "\scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si \scriptstyle\ \omega\ appartient à une infinité de \scriptstyle\ A_k\ " peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties \scriptstyle\ A_k\ sont égales, il se peut que \scriptstyle\ \omega\ appartienne à \scriptstyle\ A_k\ pour une infinité d'indices \scriptstyle\ k\ , et il se peut donc que \scriptstyle\ \omega\ appartienne à \scriptstyle\ \limsup_n\, A_n, sans pour autant qu'\scriptstyle\ \omega\ appartienne à une infinité de \scriptstyle\ A_k\ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul \scriptstyle\ A_k).

Voir aussi

Notes

  1. ↑ Émile Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », dans Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 27, no 1, décembre 1909, p. 247-271 (ISSN 0009-725X et 1973-4409) [texte intégral, lien DOI] .

Pages liées

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi du zéro-un de Borel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Loi Du Zéro Un De Kolmogorov — En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la probablité d un tel événement …   Wikipédia en Français

  • Loi du zero un de Kolmogorov — Loi du zéro un de Kolmogorov En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la… …   Wikipédia en Français

  • Loi du zéro-un — de Kolmogorov En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la probablité d un …   Wikipédia en Français

  • Loi du zéro-un de Kolmogorov — En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la probablité d un tel événement …   Wikipédia en Français

  • Loi du zéro un — de Kolmogorov En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la probablité d un …   Wikipédia en Français

  • Loi du zéro un de kolmogorov — En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la probablité d un tel événement …   Wikipédia en Français

  • Loi du zéro un de Kolmogorov — En probabilités, la loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la probablité d un tel événement …   Wikipédia en Français

  • Loi du 0-1 — Loi du zéro un de Kolmogorov En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C est à dire que la… …   Wikipédia en Français

  • Loi forte des grands nombres — Une loi forte des grands nombres est une loi mathématique selon laquelle la moyenne des n premiers termes d une suite de variables aléatoires converge presque sûrement vers une constante (non aléatoire), lorsque n tend vers l infini. Lorsque ces… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Borel-Cantelli —  Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel ni Lemme de Borel Carathéodory. Le théorème de Borel Cantelli ou lemme de Borel Cantelli, nommé d après les mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli, est un résultat de théorie… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”