Loi du zéro-un

Loi du zéro-un

Loi du zéro un de Kolmogorov

En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C'est-à-dire que la probablité d'un tel événement vaut 1 ou 0.

Les événements queues se définissent en termes de suites infinies de variables aléatoires. Soit

X_1,X_2,X_3,\dots\,

une suite[2] infinie de variables aléatoires indépendantes. Alors, un événement queue est un événement dont la réalisation est déterminée par la valeur des variables Xi, mais qui est indépendant de toute sous-suite finie de variables Xi.

  • Par exemple, l'événement "la série \sum_{k=1}^\infty X_k converge" est un événement queue.
  • L'événement \sum_{k=1}^\infty X_k > 1 n'est pas un événement queue puisque, par exemple, il n'est pas indépendant de la valeur de X1.
  • Pour une infinité de lancers d'une pièce à pile ou face, le fait qu'une séquence de 100 "faces" consécutives soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue.
  • Le paradoxe du singe savant est un exemple d'application de la Loi zéro un.

De façon surprenante, il est parfois aisé de prouver grâce à cette loi qu'un événement a une probabilité dans {0,1}, mais très difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Démonstration

L'indépendance des Xk conduit à celle des tribus Un = σ(Xk;k < n) et Tn = σ(Xk;k > = n)

Si nous notons Tq la tribu de queue, on a \forall n T_q \subset T_n

Ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de Tq et Un.

Posons alors Uq la tribu engendrée par les Un pour tout n.

La suite de tribus (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est croissante, donc sa limite \cup U_n est un π-système qui engendre Uq. Comme \cup U_n et Tq sont indépendants, Uq et Tq le sont.

Ainsi pour tout événements A \in U_q B \in T_q on a P(A \cap B) = P(A)P(B).

Or comme T_q \subset U_q , on prend A=B ce qui donne P(A) = P(A)2

On en conclut que P(A)=0 ou 1

Notes

  1. ↑ "tail events" en anglais.
  2. ↑ les variables Xi n'ont pas forcément la même distribution de probabilité.

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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