Loi du zéro un de kolmogorov

Loi du zéro un de Kolmogorov

En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues^[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C'est-à-dire que la probablité d'un tel événement vaut 1 ou 0.

Les événements queues se définissent en termes de suites infinies de variables aléatoires. Soit

$X_1,X_2,X_3,\dots\,$

une suite^[2] infinie de variables aléatoires indépendantes. Alors, un événement queue est un événement dont la réalisation est déterminée par la valeur des variables $X i$ , mais qui est indépendant de toute sous-suite finie de variables $X i$ .

Par exemple, l'événement "la série $\sum_{k=1}^\infty X_k$ converge" est un événement queue.
L'événement $\sum_{k=1}^\infty X_k > 1$ n'est pas un événement queue puisque, par exemple, il n'est pas indépendant de la valeur de $X 1$ .
Pour une infinité de lancers d'une pièce à pile ou face, le fait qu'une séquence de 100 "faces" consécutives soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue.
Le paradoxe du singe savant est un exemple d'application de la Loi zéro un.

De façon surprenante, il est parfois aisé de prouver grâce à cette loi qu'un événement a une probabilité dans {0,1}, mais très difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Démonstration

L'indépendance des $X k$ conduit à celle des tribus $U n = σ(X k; k < n)$ et $T n = σ(X k; k > = n)$

Si nous notons $T q$ la tribu de queue, on a $\forall n T_q \subset T_n$

Ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de $T q$ et $U n$ .

Posons alors $U q$ la tribu engendrée par les $U n$ pour tout n.

La suite de tribus $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante, donc sa limite $\cup U_n$ est un $π$ -système qui engendre $U q$ . Comme $\cup U_n$ et $T q$ sont indépendants, $U q$ et $T q$ le sont.

Ainsi pour tout événements $A \in U_q B \in T_q$ on a $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

Or comme $T_q \subset U_q$ , on prend A=B ce qui donne $P (A) = P (A) 2$

On en conclut que P(A)=0 ou 1

Notes

↑ "tail events" en anglais.
↑ les variables $X i$ n'ont pas forcément la même distribution de probabilité.

Voir aussi

Portail des probabilités et des statistiques

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Catégories : Théorème de mathématiques | Probabilités | Zéro

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