Loi d'inertie de Sylvester

Loi d'inertie de Sylvester

En Algèbre linéaire, la Loi d'inertie de Sylvester est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.

Soit \,V un espace vectoriel sur \,\R de dimension n, et \,q une forme quadratique de rang r. Il existe un entier s\le r et des formes linéaires indépendantes \,l_1,...,l_r telles que

q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\sum_{i=s+1}^rl_i^2.

Cette écriture n'est pas unique, mais l'entier s n'en dépend pas. On l'appelle l'indice de \,q.

Deux formes quadratiques sur \,V sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même indice.

Sommaire

Preuve

Existence

Le théorème de réduction de Gauss assure de l'existence de r formes linéaires indépendantes \,l_1,...,l_r et de r réels \,c_1,..., c_r tous non nuls tels que q=\sum_{i=1}^rc_il_i^2. L'existence de la décomposition annoncée s'obtient en renumérotant les \,c_i de façon à mettre en premier ceux qui sont strictement négatifs, puis en remplaçant \,l_i par \sqrt{\vert c_i\vert}l_i.

Caractérisation de l'indice

Pour montrer que s ne dépend que de q, montrons que

s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie négative.

(On montrerait de même que r-s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie positive).

Soient \,(e_1,\ldots,e_n) une base de \,V dans laquelle \,l_1,...,l_r sont les r premières fonctions coordonnées (en particulier, \,e_{r+1},\ldots,e_n est une base du radical \,\mathrm{rad}(q) de \,q), et \,F^- (resp.\,F^+) le sous-espace engendré par \,e_1,\ldots,e_s (resp. \,e_{s+1},\ldots,e_r). On obtient une décomposition

V=F^-\bigoplus F^+\bigoplus \mathrm{rad(q)}

en somme directe de sous-espaces deux à deux orthogonaux pour la forme bilinéaire associée à \,q, la restriction de \,q à \,F^+ (resp.\,F^-) étant définie positive (resp. définie négative).

Soit \,G un sous-espace de dimension m sur lequel \,q est définie négative. Comme \,q est définie positive sur \,F^+, ces deux sous-espaces sont en somme directe et \,q est non dégénérée sur cette somme, donc m+(r-s)=\dim G+\dim F^+\leq r, c'est-à-dire m\leq s.

Critère d'équivalence

D'après la caractérisation ci-dessus de s et de r-s, deux formes quadratiques équivalentes ont même indice et même rang. Réciproquement, si deux formes quadratiques ont même indice et même rang, alors elles ont même matrice par rapport à des bases convenables et sont donc équivalentes.

Voir aussi

Articles connexes


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